MATEMANIJA

Jedan zadatak vezan pretpostavljam za slicnosti trouglova :

Neka upisana kruznica [inlmath]K[/inlmath] jednakokrakog trougla [inlmath]ABC[/inlmath] dodiruje krake [inlmath]BC[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath] u tackama [inlmath]D[/inlmath] i [inlmath]E[/inlmath] i neka je [inlmath]F[/inlmath] presecna tacka duzi [inlmath]AD[/inlmath] i kruznice [inlmath]K[/inlmath], ako je [inlmath]G[/inlmath] presecna tacka pravih [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]EF[/inlmath], tada je odnos duzi [inlmath]AG[/inlmath] i [inlmath]AB[/inlmath]?

Znam kako izgleda slika, ali ne znam na koji nacin da povezem tu nesto, ako moze neko da mi da neku sugestiju sta da posmatram, ili jos bolje da resi ceo zadatak

gaxon97 je napisao:ili jos bolje da resi ceo zadatak

Ovo nikad nemoj da tražiš na ovom forumu.

Evo ti neke najosnovnije instrukcije:

• dokaži da su trouglovi [inlmath]\triangle BOC_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle BOD[/inlmath] podudarni;
• dokaži da su trouglovi [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] i [inlmath]\triangle AFG[/inlmath] slični (koristeći, kao međukorak, [inlmath]\angle DOE=2\angle ABD[/inlmath] (što takođe treba pokazati);
• dokaži da su trouglovi [inlmath]\triangle AFG[/inlmath] i [inlmath]\triangle EAG[/inlmath] slični;
• uoči odnos stranica u trouglu [inlmath]\triangle ABD[/inlmath], a zatim i u trouglu [inlmath]\triangle EAG[/inlmath];
• ako ti zatreba pomoć oko nekog (ili nekih) koraka – pitaj.

Shvatio sam prva tri koraka, i znam kako da dokazem slicnost ovih trouglova, ali ne znam kako to da iskoristim, i ne znam na koji nacin da uocim odnos stranica u cetvrtom koraku

OK, znači, uočio si sličnost trouglova [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] i [inlmath]\triangle AFG[/inlmath]. Takođe, uočio si i sličnost trouglova [inlmath]\triangle AFG[/inlmath] i [inlmath]\triangle EAG[/inlmath]. Odavde sledi (osobina tranzitivnosti za sličnost trouglova) i sličnost trouglova [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] i [inlmath]\triangle EAG[/inlmath].

• U kom odnosu stoje stranice [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]BD[/inlmath] trougla [inlmath]\triangle ABD[/inlmath]?
• U kom odnosu stoje duži [inlmath]BD[/inlmath] i [inlmath]EA[/inlmath]?
• U kom odnosu stoje stranice [inlmath]EA[/inlmath] i [inlmath]AG[/inlmath] trougla [inlmath]\triangle EAG[/inlmath]? (Koristi malopre dokazanu sličnost trouglova [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] i [inlmath]\triangle EAG[/inlmath].)

Kad odgovoriš na ova tri pitanja, lako ćeš zaključiti i u kom odnosu stoje duži [inlmath]AG[/inlmath] i [inlmath]AB[/inlmath], što se upravo i traži u zadatku.

Ja dobijem da je [inlmath]AB=2BD[/inlmath], [inlmath]DB=EA[/inlmath]. Sad pretpostavljam da je [inlmath]AE=2AG[/inlmath] pa je [inlmath]AB=4AG[/inlmath] i to je resenje, ali ne znam kako tacno da dokazem to [inlmath]AE=2AG[/inlmath], tj. ne znam da napravim proporciju vezanu za slicnost trouglova [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] i [inlmath]\triangle EAG[/inlmath].

Ugao kod temena [inlmath]A[/inlmath] u trouglu [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] jednak je uglu kod temena [inlmath]E[/inlmath] u trouglu [inlmath]\triangle EAG[/inlmath].
Ugao kod temena [inlmath]D[/inlmath] u trouglu [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] jednak je uglu kod temena [inlmath]G[/inlmath] u trouglu [inlmath]\triangle EAG[/inlmath].
Odatle sledi da će u trouglu [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] odnos stranice naspram ugla kod temena [inlmath]A[/inlmath] i stranice naspram ugla kod temena [inlmath]D[/inlmath] biti isti kao što je u trouglu [inlmath]\triangle EAG[/inlmath] odnos stranice naspram ugla kod temena [inlmath]E[/inlmath] i stranice naspram ugla kod temena [inlmath]G[/inlmath].

Resih konacno , nisam mogao da skontam koji ugao odgovara kome. Hvala na pomoci