MATEMANIJA

Pozdrav interesuje me da li se sledece formule mogu nekako izvesti
[inlmath]r_u=\frac{a+b-c}{2}[/inlmath]
[inlmath]P=\frac{1}{3}H\cdot\left(B_1+\sqrt{B_1\cdot B_2}+B_2\right)[/inlmath]

gde je
[inlmath]r_u[/inlmath] - precnik upisanog kruga u pravougli trougao
[inlmath]P[/inlmath] - povrsina zarubljene piramide
[inlmath]H[/inlmath] - visina te(zarubljene) piramide
[inlmath]a,b,c[/inlmath] - standardno obelezavanje stranica pravouglog trougla

Za drugu sam cuo da moze da se izvede ali nisam se na vreme setio da pitam coveka da mi pokaze

Nisu preterano teske za pamcenje ali bih radije da ih izvedem ako mogu da ne ucim napamet bespotrebno (ponekad mi se desi [inlmath]P=\frac{1}{3}H\cdot\left(B_1^2+\sqrt{B_1\cdot B_2}+B_2^2\right)[/inlmath] da napravim ovako neku gresku). Hvala na ukazanom vremenu.

[dispmath]P=r_us[/dispmath]

[dispmath]r_u=\frac{P}{s}=\frac{\frac{ab}{2}}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{ab}{a+b+c}\cdot\frac{a+b-c}{a+b-c}=\frac{ab(a+b-c)}{(a+b)^2-c^2}=\frac{ab(a+b-c)}{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}=\frac{a+b-c}{2}[/dispmath]
Sto se tice druge formule - na wolframu pise (ako sam dobro razumeo engleski) da ne postoji izvodjenje za tu jednacinu. http://mathworld.wolfram.com/TruncatedSquarePyramid.html

Pogresno si razumeo ne kaze da se ne moze izvesti vec da ne postoji dokaz koji se ne oslanja na kontinualnost a samim tim i na integraciju.
E sad ja znam za jedan dokaz preko slicnosti trouglova. Zamislis da imas celu piramidu i uzmes jednu ravan koja je sece na pola. U poprecnom preseku dobices trougao i tu preko slicnosti iz ovih poznatih stvari mozes da izvuces visinu cele piramide. A zarubljena se dobija kao zapremina vece minus zapremina manje.

Mislim da se obicno koristi termin „neprekidnost“ umesto „kontinualnost“. U sustini, da bi se nasla zapremina piramide potrebni su integrali, pa su zbog toga naveli da ne moze bez integracije. Ako sa druge strane prihvatimo da je zapremina piramide jednaka trecini proizvoda baze i visine, onda ne moramo ici na integrale.

Samo bih napomenuo da ne mora ravan da bas sece na pola, kao i da ne mora osnova bas biti trougao, vec moze biti i proizvoljan pravilni [inlmath]n[/inlmath]-tougao (stavise, mislim da ne mora cak biti ni pravilan). Ono sto je bitno u samoj formuli je da se radi o pravoj zarubljenoj piramidi.

Batonja je napisao:Pozdrav interesuje me da li se sledece formule mogu nekako izvesti
[inlmath]r_u=\frac{a+b-c}{2}[/inlmath]
...

Evo čisto geometrijski:


Uočimo da je [inlmath]AE=AF[/inlmath] i da je [inlmath]BD=BF[/inlmath] (može se i dokazati, preko podudarnosti trouglova). Sledi da je
[dispmath]c=AB=AF+BF=AE+BD=\left(AC-CE\right)+\left(BC-CD\right)=b-r+a-r=a+b-2r\quad\Rightarrow\\
\Rightarrow\quad r=\frac{a+b-c}{2}[/dispmath]

Što se tiče zapremine zarubljene piramide, sa [inlmath]V_1[/inlmath] obeležimo, da je tako nazovem, zapreminu „prvobitne“ piramide koju smo imali pre zarubljivanja, a sa [inlmath]V_2[/inlmath] zapreminu one piramide koju smo „odsekli“ od prvobitne piramide (čime smo dobili zarubljenu piramidu). Tada je zapremina zarubljene piramide jednaka razlici ove dve zapremine, [inlmath]V_{\text{ZP}}=V_1-V_2[/inlmath].


Visinu zarubljene piramide obeležimo sa [inlmath]H[/inlmath]. Visinu manje piramide, koju smo odsekli od one veće, obeležimo sa [inlmath]x[/inlmath], odakle sledi da je visina „prvobitne“ (veće) piramide jednaka [inlmath]H+x[/inlmath].
[dispmath]V_{\text{ZP}}=V_1-V_2=\frac{1}{3}B_1\left(H+x\right)-\frac{1}{3}B_2x=\frac{1}{3}B_1H+\frac{1}{3}\left(B_1-B_2\right)x[/dispmath]
Postavimo proporciju – osnove piramida se odnose kao kvadrati njihovih visina:
[dispmath]\frac{B_1}{B_2}=\frac{\left(H+x\right)^2}{x^2}=\left(\frac{H}{x}+1\right)^2\quad\Rightarrow\quad\frac{H}{x}=\sqrt{\frac{B_1}{B_2}}-1=\frac{\sqrt{B_1}-\sqrt{B_2}}{\sqrt{B_2}}\\
\Rightarrow\quad x=H\frac{\sqrt{B_2}}{\sqrt{B_1}-\sqrt{B_2}}[/dispmath]
Sad to uvrstimo u prethodnu formulu za zapreminu:
[dispmath]V_{\text{ZP}}=\frac{1}{3}B_1H+\frac{1}{3}\left(B_1-B_2\right)H\frac{\sqrt{B_2}}{\sqrt{B_1}-\sqrt{B_2}}\\
V_{\text{ZP}}=\frac{1}{3}B_1H+\frac{1}{3}\left(\sqrt{B_1}+\sqrt{B_2}\right)\cancel{\left(\sqrt{B_1}-\sqrt{B_2}\right)}H\frac{\sqrt{B_2}}{\cancel{\sqrt{B_1}-\sqrt{B_2}}}\\
V_{\text{ZP}}=\frac{1}{3}B_1H+\frac{1}{3}\left(\sqrt{B_1B_2}+B_2\right)H\\
\enclose{box}{V_{\text{ZP}}=\frac{1}{3}\left(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2\right)H}[/dispmath]

Batonja je napisao:(ponekad mi se desi [inlmath]P=\frac{1}{3}H\cdot\left(B_1^2+\sqrt{B_1\cdot B_2}+B_2^2\right)[/inlmath] da napravim ovako neku gresku).

Da ti se to ne bi desilo, uvek proveri da li je formula dimenziono usaglašena. Kod ispravne formule, unutar zagrade imamo dimenziju površine, tj. metar na kvadrat, pa kad se to pomnoži visinom izvan zagrade koja ima dimenziju metar, dobijemo dimenziju metar na treći, što i jeste dimenzija zapremine. Ako to isto primeniš na ovu (pogrešnu) formulu koju si naveo, odmah vidiš da tu nešto ne valja.

I, sad primetih ovo,

Batonja je napisao:[inlmath]r_u=\frac{a+b-c}{2}[/inlmath]
...
gde je
[inlmath]r_u[/inlmath] - precnik upisanog kruga u pravougli trougao

naravno, ovo je greška, [inlmath]r_u[/inlmath] je poluprečnik, a ne prečnik. Prečnik bi bio [inlmath]a+b-c[/inlmath].