MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 29. jun 2011.
13. zadatak

Osnovna ivica pravilne cetvorostrane piramide je [inlmath]8\text{ cm}[/inlmath], a srediste osnove je od bocne strane na rastojanju [inlmath]2\text{ cm}[/inlmath]. Kolika je visina te piramide?
[inlmath]\displaystyle A)\;\frac{16}{3}\text{ cm}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle B)\;4\sqrt2\text{ cm}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle C)\;2\sqrt2\text{ cm}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle D)\;\frac{4\sqrt3}{3}\text{ cm}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;\frac{2\sqrt3}{3}\text{ cm}[/inlmath]

Ako sam dobro nacrtao, mislim da ne moze da se resi preko podudarnosti trouglova, a nesto mi ne deluje kao da moze preko slicnosti trouglova.

Resio sam zadatak - pa da sam sebi odgovorim i pomognem . Salim se naravno - da imamo resenje jer mozda nekom zatreba. Radi se ipak o slicnosti trouglova.

Imamo pravougli trougao koji izdvajamo iz piramide i koji nam je bitan da bi nasli visinu piramide.


Visinu racunamo po pitagorinoj teoremi:
[dispmath]H^2=h^2-a^2[/dispmath] tj.
[dispmath]H^2=h^2-16[/dispmath] [inlmath]h[/inlmath] - je visina bocne strane piramide
duz plave boje je zapravo [inlmath]2\text{ cm}[/inlmath]
Preko pitagorine teoreme dobijamo da je
[dispmath]p=2\sqrt3[/dispmath] E sad preko Euklidovog stava imamo da je:
[dispmath]a^2=h\cdot p[/dispmath] i kad zamenimo [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath] dobijamo da je
[dispmath]h=\frac{8\sqrt3}{3}[/dispmath] i kada zamenimo [inlmath]h[/inlmath] u
[dispmath]H^2=h^2-16[/dispmath] dobijamo
[dispmath]H=\frac{4\sqrt3}{3}[/dispmath]

Pozdrav, nov sam na ovom forumu i evo mog prvog komentara

Radio sam neke zadatke sa ETF_2018 Prijemnog i naisao sam na ovaj zadatak (konkretno tamo na prijemnom 13.), te mi je bila neophodna pomoc.
Radivsi postepeno zadatak primetio sam jednu greskicu u ovom postupku kod primene Euklidovog stava
[dispmath]a=\sqrt{h\cdot p}[/dispmath] Resenje je doduse ispalo isto, ali mislim da treba biti
[dispmath]4=h\cdot p[/dispmath] Mozda nekog ovaj korak zbuni, pozdrav

Pozdrav, dobro došao na forum.

Ne, baš treba da bude s korenom. Ako bi radio s formulom [inlmath]4=h\cdot p[/inlmath], dobio bi [inlmath]h=\frac{2\sqrt3}{3}[/inlmath] i uvrštavanjem u [inlmath]H^2=h^2-16[/inlmath] dobio bi negativnu vrednost za [inlmath]H^2[/inlmath], što očigledno ukazuje na grešku.

Inače zadatak se, po meni, najlakše rešava tako što se postavi proporcija na osnovu sličnosti trouglova, [inlmath]a:2=H:q[/inlmath] (oznake su prema gornjoj slici), a zatim Pitagorina teorema [inlmath]q^2=H^2-4[/inlmath].

Hvala puno, skroz kapiram sad kako se radi )

A kako znamo da je ta plava duz (od [inlmath]2\text{ cm}[/inlmath]) zapravo pod pravim uglom sa bocnom stranom?

Zato što je to rastojanje od [inlmath]2\text{ cm}[/inlmath], a kad se kaže rastojanje, misli se na najkraće rastojanje i ono je uvijek pod pravim uglom.