MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF - 14. jun 2014.
6. zadatak

Ovako glasi zadatak : duzina ivica osnove trostrane piramide su [inlmath]13,14,15[/inlmath]. Sve bocne strane nagnute su prema ravni osnove pod uglom od [inlmath]60^\circ[/inlmath]. Poluprecnik sfere upisane u ovu piramidu?

Sad ja ne znam kako izgleda sfera u piramidi, i koje su bitne tacke, odnosno gde ona sve dodiruje ovu piramidu.

Kako ja vidim ovaj zadatak, u pitanju je prava trostrana piramida sa raznostraničnim trouglom kao bazom, te možemo zaključiti da će visina piramide padati u centar upisane kružnice u bazu, ako se dobro sjećam gradiva. Lopta onda dira piramidu u četiri tačke od kojih je jedna tačka u kojoj visina piramide dodiruje bazu.
Prvo trebamo odrediti površinu baze pomoću Heronovog obrasca i dobijamo da je [inlmath]P=84[/inlmath] iz te površine možemo odrediti vrijednost poluprečnika upisane kružnice u taj trougao [inlmath]P=r_u\cdot s\;\Rightarrow\;r_u=4[/inlmath]. Sada možemo na osnovu datog ugla i poluprečnika kruga odrediti visinu piramide i visinu bočne strane, te dobijamo [inlmath]H=4\cdot\sqrt3[/inlmath] i [inlmath]h=8[/inlmath]

: trougao.png (4.95 KiB) Pogledano 3672 puta

Sada prvo izvedemo
[dispmath]\triangle ABC\sim\triangle NMC\\
\angle CAB=\angle MNC=90^\circ\\
\angle ACB=\angle MCN\\
\angle ABC=\angle NMC\\
\Rightarrow\;h:r_u=\left(H-R\right):R[/dispmath]
iz ovoga sad izrazimo čemu je jednako [inlmath]R[/inlmath] i na kraju se dobija da je [inlmath]R=\frac{4\cdot\sqrt3}{3}[/inlmath]
p.s. nadam se da nisam negdje napravio grešku

To je resenje, hvala puno na pomoci

Potvrđujem tačnost kako postupka tako i rešenja, samo bih da raščistimo neke stvari koje se tiču terminologije.

bole je napisao:Kako ja vidim ovaj zadatak, u pitanju je prava trostrana piramida sa raznostraničnim trouglom kao bazom, te možemo zaključiti da će visina piramide padati u centar upisane kružnice u bazu, ako se dobro sjećam gradiva.

Prava piramida se definiše kao piramida kod koje su sve bočne ivice međusobno jednake. Posledično, bočne strane prave piramide su jednakokraki trouglovi, vrh prave piramide je podjednako udaljen od svih temena osnove, projekcija vrha na ravan osnove (tj. podnožje visine) takođe je podjednako udaljena od svih temena osnove, odakle opet sledi da je podnožje visine – centar kružnice opisane oko osnove.

Kod ove piramide to nije slučaj. Kod ove piramide nisu međusobno jednake bočne ivice, već su međusobno jednake apoteme (visine bočnih strana). Kao posledica toga, podnožje visine će biti centar kružnice upisane u osnovu, kao što si i napisao. Ali, ova piramida nije prava piramida.

Ako bismo apoteme ove piramide posmatrali kao bočne ivice neke nove piramide, onda bi ta nova piramida bila prava piramida.

Daniel je napisao:Prava piramida se definiše kao piramida kod koje su sve bočne ivice međusobno jednake. Posledično, bočne strane prave piramide su pravougli trouglovi,..

Meni ovo nije baš jasno. Da li si mislio na jednakostranične trouglove?