MATEMANIJA

[inlmath][/inlmath]Ljudi, imam problem sa ovim zadatkom, u pitanju je Fon, drugi upisni krug 2014, 11. zadatak.
Ovako glasi zadatak:
Ako je zapremina prave kružne kupe jednaka [inlmath]72\pi\text{ cm}^3[/inlmath], a površina njenog omotača je tri puta veća od površine njene osnove, onda je površina kupe jednaka:
Rešenje je [inlmath]72\pi\text{ cm}^2[/inlmath]

Neka početna ideja mi je bila da se vratim u izraz za izračunavanje zapremine kupe, i recimo izrazim poluprečnik. Kada se sredi sve dobijem:
[inlmath]r^2=\frac{216}{H}[/inlmath]
Sobzirom da mi je uslov zadatka [inlmath]M=3\cdot B[/inlmath], sledi [inlmath]rs\pi=3r^2\pi[/inlmath].
Prebacim sve na levu stranu i izvučem [inlmath]r\pi[/inlmath]:
[inlmath]r\pi(s-3r)=0[/inlmath], odakle sledi da mi je [inlmath]3r=s[/inlmath].
E, šta sada uraditi? Ima li neko ideju šta dalje, ili gde sam napravio grešku?
I na kraju dobijam rešenje [inlmath]12\pi\sqrt3[/inlmath]

Izvinjavam seeee, uspeo sam da ga uradim. U svakom slučaju, dobar zadatak.
Za one koji ga i dalje rade, vratite se sa ovim [inlmath]s=3\cdot r[/inlmath] u onaj pitagorin trougao kod kupe, i umesto [inlmath]H[/inlmath] stavite [inlmath]\frac{216}{r^2}[/inlmath].

PS. nemojte se plašiti korenovanja kao ja, i [inlmath]\sqrt2[/inlmath] je lep broj

Hvala što si izložio postupak, sigurno će nekom biti od pomoći.

Koliko sam razumeo, ti si u [inlmath]r^2=s^2-H^2[/inlmath] uvrstio [inlmath]s=3r[/inlmath] i [inlmath]H=\frac{216}{r^2}[/inlmath] i dobio [inlmath]r^2=9r^2-\left(\frac{216}{r^2}\right)^2[/inlmath] što, kad se sredi, daje [inlmath]r^6=\frac{216^2}{8}[/inlmath]. Primenimo treći koren na obe strane i to je [inlmath]r^2=\frac{6^2}{2}=18[/inlmath].

Ja bih to ovako, možda za nijansu jednostavnije (a možda i ne ). U [inlmath]H^2=s^2-r^2[/inlmath] bih uvrstio [inlmath]s=3r[/inlmath] i dobio bih [inlmath]H=2\sqrt2r[/inlmath], a zatim bih to [inlmath]H[/inlmath] uvrstio u [inlmath]r^2=\frac{216}{H}[/inlmath] odakle bih dobio [inlmath]r=\frac{6}{\sqrt2}[/inlmath], što zatim samo uvrstim u izraz za površinu [inlmath]P=4\pi r^2[/inlmath] (a koji se dobije uvrštavanjem [inlmath]s=3r[/inlmath] u izraz za površinu [inlmath]P=\pi r\left(r+s\right)[/inlmath]).

Dada, ipak mi je jednostavniji ovaj moj. Hvala na savetu, u svakom slučaju.