MATEMANIJA

Osnova prave piramide je paralelogram sa stranicama duzina [inlmath]10[/inlmath] i [inlmath]18[/inlmath] i povrsinom [inlmath]90[/inlmath]. Ako je zapremina piramide [inlmath]180[/inlmath], onda je povrsina omotaca date piramide ?
Ja sam izracunao visinu piramide [inlmath]6[/inlmath], ali neznam da izracunam visinu bocne strane, ako moze neko da mi objasni kako to izgleda i sta bih trebao da gledam da bih to odredio.

Zadatak je bio danas na probnom na fonu.

[dispmath]B=ab\sin\alpha[/dispmath][dispmath]90=10\cdot18\cdot\sin\alpha[/dispmath][dispmath]\sin\alpha=\frac{1}{2}[/dispmath]

Kao što je pentagram napisao
[dispmath]\sin\alpha=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad\alpha=30^\circ\;\land\;\beta=150^\circ[/dispmath]
Apotemu možeš da izračunaš preko trougla koji grade izvodnice [inlmath]s[/inlmath] sa jednom od stranica.

Dobro, ali kako izvodnicu [inlmath]s[/inlmath] da nadjem?

Izvodnicu preko polovine duže dijagonale i visine [inlmath]H[/inlmath]
Ali takodje apotemu možeš preko trougla koji grade apotema [inlmath]h[/inlmath] , visina piramide [inlmath]H[/inlmath] i polovina jedne stranice [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath] S tim što imaš dva tipa trouglova u omotaču.

Ja kako god da okrenem dobijam neke korene koje ne mogu da pokratim a resenje je [inlmath]192[/inlmath] , mozes li tacno da mi napises kako se radi

I ja sam tako radio, nikako se ne dobija trazeno resenje.
Videcemo, mozda je njihova greska u postavci, obavestice nas valjda.

Dobije se da su izvodnice piramide:
[dispmath]s_1=\sqrt{142+45\sqrt3}\\
s_2=\sqrt{142-45\sqrt3}[/dispmath]
I sada cemo u omotacu imati po dva jednaka raznostrana trougla. Prvi sa stranama [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]s_1[/inlmath] i [inlmath]s_2[/inlmath] (povrsina jednog bice [inlmath]\frac{117}{2}[/inlmath]). Drugi sa stranama [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]s_1[/inlmath], [inlmath]s_2[/inlmath] (povrsina jednog bice [inlmath]\frac{75}{2}[/inlmath]). To moze preko Heronovog obrasca. I dobije se da je omotac:
[dispmath]M=117+75=192[/dispmath]

Ima dosta posla, a i ruzan je postupak, ali sta je tu je. Verovatno ima nesto krace.

Wolfe, imaš grešku u slici (a i u postupku). Apotema ne deli ivicu osnove piramide na dva jednaka dela. Projekcije apotema na osnovu piramide nalaziće se na visinama paralelograma u osnovi. A za visine paralelograma znamo da u opštem slučaju ne sadrže središta stranica paralelograma.

Ilija, tvoj postupak je u redu, mada, kako si i sâm primetio, dosta komplikovan.

Ja mislim da bi jednostavnije bilo to raditi preko visina paralelograma, koje nije teško odrediti preko njegovih stranica i površine:
[dispmath]P=a\cdot h_a=b\cdot h_b[/dispmath]
Zatim, uočimo pravougle trouglove, koje čine polovine visina paralelograma (na slici obeležene zeleno), visina piramide (na slici obeležena plavo) i apoteme strana piramide (na slici obeležene crveno).


Visinu piramide znamo, polovine visina paralelograma znamo, Pitagorinom teoremom odredimo apoteme, a zatim i površine bočnih strana. Naspramne strane omotača piramide su podudarne, kao što su Wolf i Ilija već napisali, tako da su i površine naspramnih strana jednake...

Dakle – nije nam potreban ugao paralelograma, nisu nam potrebne dijagonale paralelograma, nisu nam potrebne izvodnice piramide...

---

@gaxon97, već si zamoljen da prilikom postavljanja zadatka uvek navedeš i konačan rezultat ako ga imaš (a sada si ga očigledno imao).
Takođe, skrenuh ti već pažnju na to da se ne piše „neznam“, pa vodi malo računa o tome. Ne samo zbog ovog foruma, već prvenstveno zbog svog pravopisa.

Izvini za greske u pravopisu, na brzinu sam opet pisao.

Mozes li samo da mi kazes jos u vezi ovog zadatka kako znas da apoteme padaju na visine paralelograma, da li je to neko pravilo, i ima li neko univerzalno pravilo kod piramida da mogu da odredim gde padaju apoteme?