MATEMANIJA

Osnova prave piramide je paralelogram sa stranicama duzina [inlmath]10[/inlmath] i [inlmath]18[/inlmath] i povrsinom [inlmath]90[/inlmath]. Ako je zapremina piramide [inlmath]180[/inlmath], onda je povrsina omotaca date piramide ?
Ja sam izracunao visinu piramide [inlmath]6[/inlmath], ali neznam da izracunam visinu bocne strane, ako moze neko da mi objasni kako to izgleda i sta bih trebao da gledam da bih to odredio.

Zadatak je bio danas na probnom na fonu.

[dispmath]B=ab\sin\alpha[/dispmath][dispmath]90=10\cdot18\cdot\sin\alpha[/dispmath][dispmath]\sin\alpha=\frac{1}{2}[/dispmath]

Kao što je pentagram napisao
[dispmath]\sin\alpha=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad\alpha=30^\circ\;\land\;\beta=150^\circ[/dispmath]
Apotemu možeš da izračunaš preko trougla koji grade izvodnice [inlmath]s[/inlmath] sa jednom od stranica.

Dobro, ali kako izvodnicu [inlmath]s[/inlmath] da nadjem?

Izvodnicu preko polovine duže dijagonale i visine [inlmath]H[/inlmath]
Ali takodje apotemu možeš preko trougla koji grade apotema [inlmath]h[/inlmath] , visina piramide [inlmath]H[/inlmath] i polovina jedne stranice [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath] S tim što imaš dva tipa trouglova u omotaču.

Ja kako god da okrenem dobijam neke korene koje ne mogu da pokratim a resenje je [inlmath]192[/inlmath] , mozes li tacno da mi napises kako se radi

I ja sam tako radio, nikako se ne dobija trazeno resenje.
Videcemo, mozda je njihova greska u postavci, obavestice nas valjda.

Dobije se da su izvodnice piramide:
[dispmath]s_1=\sqrt{142+45\sqrt3}\\
s_2=\sqrt{142-45\sqrt3}[/dispmath]
I sada cemo u omotacu imati po dva jednaka raznostrana trougla. Prvi sa stranama [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]s_1[/inlmath] i [inlmath]s_2[/inlmath] (povrsina jednog bice [inlmath]\frac{117}{2}[/inlmath]). Drugi sa stranama [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]s_1[/inlmath], [inlmath]s_2[/inlmath] (povrsina jednog bice [inlmath]\frac{75}{2}[/inlmath]). To moze preko Heronovog obrasca. I dobije se da je omotac:
[dispmath]M=117+75=192[/dispmath]

Ima dosta posla, a i ruzan je postupak, ali sta je tu je. Verovatno ima nesto krace.

Wolfe, imaš grešku u slici (a i u postupku). Apotema ne deli ivicu osnove piramide na dva jednaka dela. Projekcije apotema na osnovu piramide nalaziće se na visinama paralelograma u osnovi. A za visine paralelograma znamo da u opštem slučaju ne sadrže središta stranica paralelograma.

Ilija, tvoj postupak je u redu, mada, kako si i sâm primetio, dosta komplikovan.

Ja mislim da bi jednostavnije bilo to raditi preko visina paralelograma, koje nije teško odrediti preko njegovih stranica i površine:
[dispmath]P=a\cdot h_a=b\cdot h_b[/dispmath]
Zatim, uočimo pravougle trouglove, koje čine polovine visina paralelograma (na slici obeležene zeleno), visina piramide (na slici obeležena plavo) i apoteme strana piramide (na slici obeležene crveno).


Visinu piramide znamo, polovine visina paralelograma znamo, Pitagorinom teoremom odredimo apoteme, a zatim i površine bočnih strana. Naspramne strane omotača piramide su podudarne, kao što su Wolf i Ilija već napisali, tako da su i površine naspramnih strana jednake...

Dakle – nije nam potreban ugao paralelograma, nisu nam potrebne dijagonale paralelograma, nisu nam potrebne izvodnice piramide...

---

@gaxon97, već si zamoljen da prilikom postavljanja zadatka uvek navedeš i konačan rezultat ako ga imaš (a sada si ga očigledno imao).
Takođe, skrenuh ti već pažnju na to da se ne piše „neznam“, pa vodi malo računa o tome. Ne samo zbog ovog foruma, već prvenstveno zbog svog pravopisa.

Izvini za greske u pravopisu, na brzinu sam opet pisao.

Mozes li samo da mi kazes jos u vezi ovog zadatka kako znas da apoteme padaju na visine paralelograma, da li je to neko pravilo, i ima li neko univerzalno pravilo kod piramida da mogu da odredim gde padaju apoteme?

Ako te interesuje formalni dokaz, možeš izguglati tzv. teoremu o tri normale.

A možeš i da zamisliš u prostoru – postavi npr. olovku na površinu stola, ta olovka nek ti bude kao neka prava. Zatim postavi drugu olovku tako da bude normalna na ovu prvu olovku, ali da pri tome ta druga olovka bude pod nekim uglom u odnosu na ravan stola. Pod kojim god uglom u odnosu na ravan stola da postaviš tu drugu olovku, a da bude normalna na prvu olovku, uočićeš da će projekcija te druge olovke na ravan stola takođe uvek biti normalna na prvu olovku. (Ovo je bilo, da kažem, vrlo, vrlo neformalno objašnjenje, al' valjda će pomoći.)