MATEMANIJA

Ovako glasi zadatak:
Visina prave kupe najmanje zapremine, opisane oko sfere datog poluprecnika [inlmath]R[/inlmath] ? Resenje je [inlmath]4R[/inlmath]

Ja sam pokusavao da koristim slicnost trouglova, i pitagorinu teoremu za kupu, ali uvek dobijam 2 nepoznate u jednacini za zapreminu tako da ne mogu da trazim prvi izvod, oni su u zbirci resenje nasli koriscenjem ugla izmedju izvodnice i visine kupe, ali onda mi je dosta komplikovano da nadjem prvi izvod takvog izraza, zanima me da li postoji neki drugi nacin da se odredi minimalna zapremina?

Ajde prvo napiši taj izraz da taj izvod vidimo.
Isto tako i tvoj postupak napiši da vidimo gde grešiš.

U medjuvremenu sam dobio tacan rezultat koristeci bas ono sto sam gore naveo , slicnost trouglova i pitagorinu teoremu za kupu, bilo je samo potrebno kvadrirati dobijeni izraz i onda se moze izraziti jedna nepoznata preko druge nepoznate i konstante. (stvarno ima dosta da se pise a ja ne umem da otkucam sve to u latexu)

A evo njihove konacne jednacine koriscenjem tog ugla izmedju izvodnice i visine kupe:

zapremina kupe se može prikazati u obliku
[dispmath]V=\frac{\pi}{3}R^3\left(1+\frac{1}{\sin\alpha}\right)^3\cdot\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{\pi}{3}R^3\frac{\left(1+\sin\alpha\right)^3}{\sin\alpha\cos^2\alpha}.[/dispmath]

sa [inlmath]r[/inlmath] obilježimo poluprečnik osnove kupe, sa [inlmath]H[/inlmath] visinu te kupe, sa [inlmath]s[/inlmath] izvodnicu kupe, a sa [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik lopte, onda možemo na osnovu sličnosti trouglova izvesti da je
[dispmath]R:(H-R)=r:s[/dispmath]
Na osnovu Pitagorine teoreme imamo [inlmath]s=\sqrt{H^2+r^2}[/inlmath] pa dolazimo do
[dispmath]R\cdot\sqrt{H^2+r^2}=r\cdot(H-R)[/dispmath]
zatim to kvadriramo i sredimo malo izraz
[dispmath]R^2\cdot H^2=r^2\cdot\left(H^2-2\cdot R\cdot H\right)[/dispmath]
iz toga je
[dispmath]r^2=\frac{R^2\cdot H}{H-2\cdot R}[/dispmath]
to uvrstimo u izraz za zapreminu kupe
[dispmath]V=\frac{r^2\cdot\pi\cdot H}{3}=\frac{R^2\cdot\pi\cdot H^2}{3\cdot(H-2R)}[/dispmath]
nađemo izvod po [inlmath]H[/inlmath] pri čemu je [inlmath]R[/inlmath] konstanta i na kraju dobijamo da je [inlmath]H=4\cdot R[/inlmath]
ako te interesuje kako se radi i na taj drugi način preko ugla mogu i to napisati kasnije

gaxon97 je napisao:(stvarno ima dosta da se pise a ja ne umem da otkucam sve to u latexu)

Ali to te ne oslobađa obaveze poštovanja tačke 13. i 14 Pravilnika. Tačkom 14. je dozvoljeno da se, u slučaju velike količine materijala za prekucavanje, konsultuješ s moderatorom radi kačenja slike, što ti nisi učinio.
A i na tvojoj slici (koja je ni manje, ni više, nego 145KB), nema toliko mnogo teksta i formula za prekucavanje. Mogao si mi se u vezi s tim i obratiti za pomoć. Eto, ja sam to sad obavio čas posla.


Ovaj zadatak smo već imali, u ovoj temi.