Krug sa zadatim tetivama – ETF Prijemni 2016
Poslato: Ponedeljak, 27. Jun 2016, 19:32ETF Prijemni 2016
4. zadatak
Da polako krenemo sa rešavanjem i ovog prijemnog. Za početak jedan lakši, ali sa kojim su mnogi danas imali problema.
Tetive kruga su [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]CD[/inlmath], međusobno su normalne i seku se u tački [inlmath]M[/inlmath] tako da je [inlmath]AM=3\text{ cm}[/inlmath], [inlmath]MB=4\text{ cm}[/inlmath], [inlmath]CM=2\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]MD=6\text{ cm}[/inlmath]. Prečnik tog kruga je jednak (u [inlmath]\text{cm}[/inlmath]):
Rešenje: [inlmath]\sqrt{65}[/inlmath]
Ja sam ga uradio ovako:
Kada se nacrta skica vidi se da imamo 4 pravougla trougla. Iz [inlmath]\triangle ACM[/inlmath] pomoću Pitagorine teoreme izračunamo da je stranica [inlmath]AC=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}[/inlmath], a iz [inlmath]\triangle BMC[/inlmath] na isti način izračunamo da je stranica [inlmath]BC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5[/inlmath].
Zatim imamo [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] kod kojeg znamo sve stranice i visinu [inlmath]CM[/inlmath], pa možemo da izračunamo i poluprečnik opisanog kruga pomoću formule [inlmath]R=\frac{abc}{4P}[/inlmath]. Površinu je lako izračunati jer imamo stranicu [inlmath]AB[/inlmath] i njenu visinu [inlmath]CM[/inlmath], pa je [inlmath]P=\frac{1}{2}\cdot7\cdot2=7\text{ cm}^2[/inlmath]. Sada je [inlmath]R=\frac{7\cdot2\sqrt5\cdot\sqrt{13}}{4\cdot7}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{65}[/inlmath].
S obzirom da nama treba prečnik, rešenje je [inlmath]2R=\sqrt{65}[/inlmath]
4. zadatak
Da polako krenemo sa rešavanjem i ovog prijemnog. Za početak jedan lakši, ali sa kojim su mnogi danas imali problema.
Tetive kruga su [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]CD[/inlmath], međusobno su normalne i seku se u tački [inlmath]M[/inlmath] tako da je [inlmath]AM=3\text{ cm}[/inlmath], [inlmath]MB=4\text{ cm}[/inlmath], [inlmath]CM=2\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]MD=6\text{ cm}[/inlmath]. Prečnik tog kruga je jednak (u [inlmath]\text{cm}[/inlmath]):
Rešenje: [inlmath]\sqrt{65}[/inlmath]
Ja sam ga uradio ovako:
Kada se nacrta skica vidi se da imamo 4 pravougla trougla. Iz [inlmath]\triangle ACM[/inlmath] pomoću Pitagorine teoreme izračunamo da je stranica [inlmath]AC=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}[/inlmath], a iz [inlmath]\triangle BMC[/inlmath] na isti način izračunamo da je stranica [inlmath]BC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5[/inlmath].
Zatim imamo [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] kod kojeg znamo sve stranice i visinu [inlmath]CM[/inlmath], pa možemo da izračunamo i poluprečnik opisanog kruga pomoću formule [inlmath]R=\frac{abc}{4P}[/inlmath]. Površinu je lako izračunati jer imamo stranicu [inlmath]AB[/inlmath] i njenu visinu [inlmath]CM[/inlmath], pa je [inlmath]P=\frac{1}{2}\cdot7\cdot2=7\text{ cm}^2[/inlmath]. Sada je [inlmath]R=\frac{7\cdot2\sqrt5\cdot\sqrt{13}}{4\cdot7}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{65}[/inlmath].
S obzirom da nama treba prečnik, rešenje je [inlmath]2R=\sqrt{65}[/inlmath]