MATEMANIJA

ETF Prijemni – 2016
14. zadatak

Dat je kvadar [inlmath]ABCDA_1B_1C_1D_1[/inlmath] Duzine dijagonala strana tog kvadra su [inlmath]7,8,9[/inlmath]. Susjedna tjemena tjemenu [inlmath]B[/inlmath] su [inlmath]A,C,B_1[/inlmath] Duzina visine Iz [inlmath]B[/inlmath] piramide [inlmath]ABCB_1[/inlmath] je jednaka ?
Rjesenje: [inlmath]\displaystyle\frac{2\sqrt{55}}{5}[/inlmath]

Ako se radi o kvadru da li je ovdje visina iz vrha [inlmath]B[/inlmath] ustvari jednaka visini piramide sto je jednako kraku [inlmath]c[/inlmath] ?

Evo i slike znam da je loša ali nisam imao vremena za bolju barem će te razumijeti moje pitanje

Au, što tol'ku sliketinu, čoveče
Ni manje ni više, nego 1800x1800
Ajd smanjiću je sutra (tj. danas, jer je ponoć prošla), umoran sam sad.

dzenan9999 je napisao:Ako se radi o kvadru da li je ovdje visina iz vrha [inlmath]B[/inlmath] ustvari jednaka visini piramide sto je jednako kraku [inlmath]c[/inlmath] ?

Piramida s četiri temena, kao što je ova, ima četiri visine, svaka od njih je visina na jednu od četiri strane te piramide.
Dakle, zavisi od toga koju stranu piramide posmatraš kao osnovu – tada možeš reći da je visina piramide jednaka visini na tu stranu koju si proglasio za osnovu.
Konkretan odgovor na tvoje pitanje – ne, visina iz vrha [inlmath]B[/inlmath] nije jednaka ivici kvadra [inlmath]c[/inlmath].
Visina iz vrha [inlmath]B[/inlmath], koja se traži, predstavlja visinu na stranu koju čini trougao [inlmath]\triangle ACB_1[/inlmath], dok ivica [inlmath]c[/inlmath] predstavlja visinu na stranu koju čini trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]. Te visine nisu jednake.

P.S.

• ustvari se piše rastavljeno: u stvari;
• će te se piše sastavljeno: ćete (skraćeni oblik od hoćete).

Hah kao što sam rekao pisao sam brzo, pa tako i slika ... Riješavao sam zadatak i nikako nisam mogao dobit riješenje kao što bi trebalo.Koju relaciju da postavim da bih izračunao tu visinu iz vrha [inlmath]B[/inlmath] ?

Ako je [inlmath]h_B[/inlmath] visina koja se traži. Da li vrijedi relacija [inlmath]h_B^2+\left(\frac{2}{3}\cdot h_{AC}\right)^2=c^2[/inlmath]

Gdje je [inlmath]h_{AC}[/inlmath] visina iz vrha [inlmath]B_1[/inlmath] na stranicu [inlmath]\overline{AC}[/inlmath]

A zar nije bolje koristiti činjenicu da visina pada u centar opisanog kruga oko osnove, tj formulu [inlmath]P=\frac{abc}{4r}[/inlmath]
Površinu izrazi preko heronove formule.

dzenan9999 je napisao:Hah kao što sam rekao pisao sam brzo, pa tako i slika ...

To nije opravdanje.
Šta sad, za one koji „pišu brzo“ ne važe forumska pravila?

dzenan9999 je napisao:Ako je [inlmath]h_B[/inlmath] visina koja se traži. Da li vrijedi relacija [inlmath]h_B^2+\left(\frac{2}{3}\cdot h_{AC}\right)^2=c^2[/inlmath]

Ako može pojašnjenje, na koji način si došao do te relacije?

Herien Wolf je napisao:A zar nije bolje koristiti činjenicu da visina pada u centar opisanog kruga oko osnove,

Kad bi to bilo tako, važilo bi
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
h_B^2=a^2-R^2\\
h_B^2=b^2-R^2\\
h_B^2=c^2-R^2
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad a=b=c[/dispmath]
tj. ovaj kvadar bi, zapravo, bio – kocka.
A ne može biti kocka, zbog različitih dužina dijagonala strana.

---

Ja bih to radio preko zapremine piramide.
Zapreminu piramide [inlmath]ABCB_1[/inlmath] izrazim preko površine trougla [inlmath]\triangle ACB_1[/inlmath] (kao njene osnove) i visine na tu stranu, [inlmath]h_B[/inlmath].
Zatim visinu [inlmath]h_B[/inlmath] odatle izrazim preko površine [inlmath]\triangle ACB_1[/inlmath] i zapremine piramide.
Površinu trougla [inlmath]\triangle ACB_1[/inlmath] nađemo preko Herona, a zapreminu piramide nađemo na neki pogodniji način (pokušaj uočiti koji).

Ja sam razmišljao slično kao Herien wolf. Kada se radi o tome da je baza trostrane piramide jednakostranični trougao, tada visina piramide iz vrha naspramnog tom trouglu pada na presjek triju visina unutar osnove. Znamo da se visine tada sjeku u tački koja dijeli te visine u mjeru [inlmath]1:2[/inlmath]. Tj. da je poluprečnik opisanog kruga tom trouglu jednak [inlmath]R=\frac{2}{3}\cdot h[/inlmath] gdje je [inlmath]h[/inlmath] jedna od visina baze (a pošto se radi o jednakostraničnom trouglu sve su visine iste). I sada pošto je ta visina iz naspramnog okomita na taj trougao i pada na presjek visina lagano je uočiti da vrijedi [inlmath]h^2+R^2=a^2[/inlmath].


AKO sam ja dobro razumio piramide, visina piramide će uvijek padati na presjek visina baze????
Pa iz toga lagano je pronaći relaciju koju sam ja pronašao. Znači koristio sam se formulom koju sam naveo gore (za jednakostranični trougao) ali pošto se radi o raznostraničnom trouglu ja sam gledao odgovarajuće stranice i visine.

P.S. ne bih rekao da tada vrijedi da je kvadar jednak kocki jer bi npr tu istu visinu iz vrha [inlmath]B[/inlmath] ja izrazio kao [inlmath]h_B^2+\left(\frac{2}{3}\cdot h_{CB_1}\right)^2=a^2[/inlmath].
Molim vas da me ispravite ako griješim u ovakvom pristupu ??

Ali mislim da sam shvatio gdje griješim. Naime kod raznostraničnog trougla se visine ne sjeku u omjeru [inlmath]2:3[/inlmath]. Pa ne mogu se izraziti ni relacije koje sam ja dobio. Hvala svima na pomoći.

I evo da uradim zadatak da doprinesem nećemu ☺.

Površinu piramide označimo sa [inlmath]P_p[/inlmath] , visinu iz vrha [inlmath]B[/inlmath] sa [inlmath]h_B[/inlmath] i visinu piramide iz vrha [inlmath]B_1[/inlmath] sa [inlmath]h_{B_1}[/inlmath]. Ostale vrijednosti neću navoditi njih možemo isčitati sa slike.

Sa slike vidimo da zbog Pitagorine teoreme i činjenice da su svi uglovi pravi zbog kvadra vrijedi :
[dispmath]a^2+b^2=49\\
b^2+c^2=64\\
a^2+c^2=81[/dispmath]
Riješimo ovaj sistem i dobijamo sabiranjem druge i treće jednačine
[dispmath]2\cdot c^2+\left(a^2+b^2\right)=145[/dispmath]
Iz ovoga slijedi da je [inlmath]2\cdot c^2=145-49[/inlmath] tj. [inlmath]c^2=48[/inlmath] pa je
[dispmath]c=\sqrt{48}=4\cdot\sqrt3[/dispmath]
Vratimo se u prethodne jednađbe i dobijamo da je
[dispmath]a=\sqrt{33},\;b=4[/dispmath]
Površinu piramide možemo računati kao
[dispmath]P_p=\frac{1}{3}\cdot P_{ABC}\cdot h_{B_1}=\frac{1}{3}\cdot P_{ACB_1}\cdot h_B[/dispmath]
Primjetimo sa slike da je
[dispmath]h_{B_1}=c[/dispmath]
i da je
[dispmath]P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{33}\cdot4=2\cdot\sqrt{33}[/dispmath]
Pa je
[dispmath]P_p=\frac{1}{3}\cdot2\sqrt{33}\cdot\sqrt{33}=8\sqrt{11}[/dispmath]
Površinu trougla [inlmath]ACB_1[/inlmath] računamo preko Heronove formule i dobijamo da je [inlmath]P_{ACB_1}=12\cdot\sqrt5[/inlmath] i sada imamo da je
[dispmath]h_B=3\cdot\frac{P_p}{P_{ACB_1}}[/dispmath]
odnosno kada se uvrste odgovarajuće vrijednosti da je
[dispmath]h_B=\frac{2\cdot\sqrt{55}}{5}[/dispmath]