MATEMANIJA

ETF Prijemni – 2016
14. zadatak

Dat je kvadar [inlmath]ABCDA_1B_1C_1D_1[/inlmath] Duzine dijagonala strana tog kvadra su [inlmath]7,8,9[/inlmath]. Susjedna tjemena tjemenu [inlmath]B[/inlmath] su [inlmath]A,C,B_1[/inlmath] Duzina visine Iz [inlmath]B[/inlmath] piramide [inlmath]ABCB_1[/inlmath] je jednaka ?
Rjesenje: [inlmath]\displaystyle\frac{2\sqrt{55}}{5}[/inlmath]

Ako se radi o kvadru da li je ovdje visina iz vrha [inlmath]B[/inlmath] ustvari jednaka visini piramide sto je jednako kraku [inlmath]c[/inlmath] ?

Evo i slike znam da je loša ali nisam imao vremena za bolju barem će te razumijeti moje pitanje

Au, što tol'ku sliketinu, čoveče
Ni manje ni više, nego 1800x1800
Ajd smanjiću je sutra (tj. danas, jer je ponoć prošla), umoran sam sad.

dzenan9999 je napisao:Ako se radi o kvadru da li je ovdje visina iz vrha [inlmath]B[/inlmath] ustvari jednaka visini piramide sto je jednako kraku [inlmath]c[/inlmath] ?

Piramida s četiri temena, kao što je ova, ima četiri visine, svaka od njih je visina na jednu od četiri strane te piramide.
Dakle, zavisi od toga koju stranu piramide posmatraš kao osnovu – tada možeš reći da je visina piramide jednaka visini na tu stranu koju si proglasio za osnovu.
Konkretan odgovor na tvoje pitanje – ne, visina iz vrha [inlmath]B[/inlmath] nije jednaka ivici kvadra [inlmath]c[/inlmath].
Visina iz vrha [inlmath]B[/inlmath], koja se traži, predstavlja visinu na stranu koju čini trougao [inlmath]\triangle ACB_1[/inlmath], dok ivica [inlmath]c[/inlmath] predstavlja visinu na stranu koju čini trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]. Te visine nisu jednake.

P.S.

• ustvari se piše rastavljeno: u stvari;
• će te se piše sastavljeno: ćete (skraćeni oblik od hoćete).

Hah kao što sam rekao pisao sam brzo, pa tako i slika ... Riješavao sam zadatak i nikako nisam mogao dobit riješenje kao što bi trebalo.Koju relaciju da postavim da bih izračunao tu visinu iz vrha [inlmath]B[/inlmath] ?

Ako je [inlmath]h_B[/inlmath] visina koja se traži. Da li vrijedi relacija [inlmath]h_B^2+\left(\frac{2}{3}\cdot h_{AC}\right)^2=c^2[/inlmath]

Gdje je [inlmath]h_{AC}[/inlmath] visina iz vrha [inlmath]B_1[/inlmath] na stranicu [inlmath]\overline{AC}[/inlmath]

A zar nije bolje koristiti činjenicu da visina pada u centar opisanog kruga oko osnove, tj formulu [inlmath]P=\frac{abc}{4r}[/inlmath]
Površinu izrazi preko heronove formule.

dzenan9999 je napisao:Hah kao što sam rekao pisao sam brzo, pa tako i slika ...

To nije opravdanje.
Šta sad, za one koji „pišu brzo“ ne važe forumska pravila?

dzenan9999 je napisao:Ako je [inlmath]h_B[/inlmath] visina koja se traži. Da li vrijedi relacija [inlmath]h_B^2+\left(\frac{2}{3}\cdot h_{AC}\right)^2=c^2[/inlmath]

Ako može pojašnjenje, na koji način si došao do te relacije?

Herien Wolf je napisao:A zar nije bolje koristiti činjenicu da visina pada u centar opisanog kruga oko osnove,

Kad bi to bilo tako, važilo bi
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
h_B^2=a^2-R^2\\
h_B^2=b^2-R^2\\
h_B^2=c^2-R^2
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad a=b=c[/dispmath]
tj. ovaj kvadar bi, zapravo, bio – kocka.
A ne može biti kocka, zbog različitih dužina dijagonala strana.

---

Ja bih to radio preko zapremine piramide.
Zapreminu piramide [inlmath]ABCB_1[/inlmath] izrazim preko površine trougla [inlmath]\triangle ACB_1[/inlmath] (kao njene osnove) i visine na tu stranu, [inlmath]h_B[/inlmath].
Zatim visinu [inlmath]h_B[/inlmath] odatle izrazim preko površine [inlmath]\triangle ACB_1[/inlmath] i zapremine piramide.
Površinu trougla [inlmath]\triangle ACB_1[/inlmath] nađemo preko Herona, a zapreminu piramide nađemo na neki pogodniji način (pokušaj uočiti koji).

Ja sam razmišljao slično kao Herien wolf. Kada se radi o tome da je baza trostrane piramide jednakostranični trougao, tada visina piramide iz vrha naspramnog tom trouglu pada na presjek triju visina unutar osnove. Znamo da se visine tada sjeku u tački koja dijeli te visine u mjeru [inlmath]1:2[/inlmath]. Tj. da je poluprečnik opisanog kruga tom trouglu jednak [inlmath]R=\frac{2}{3}\cdot h[/inlmath] gdje je [inlmath]h[/inlmath] jedna od visina baze (a pošto se radi o jednakostraničnom trouglu sve su visine iste). I sada pošto je ta visina iz naspramnog okomita na taj trougao i pada na presjek visina lagano je uočiti da vrijedi [inlmath]h^2+R^2=a^2[/inlmath].


AKO sam ja dobro razumio piramide, visina piramide će uvijek padati na presjek visina baze????
Pa iz toga lagano je pronaći relaciju koju sam ja pronašao. Znači koristio sam se formulom koju sam naveo gore (za jednakostranični trougao) ali pošto se radi o raznostraničnom trouglu ja sam gledao odgovarajuće stranice i visine.

P.S. ne bih rekao da tada vrijedi da je kvadar jednak kocki jer bi npr tu istu visinu iz vrha [inlmath]B[/inlmath] ja izrazio kao [inlmath]h_B^2+\left(\frac{2}{3}\cdot h_{CB_1}\right)^2=a^2[/inlmath].
Molim vas da me ispravite ako griješim u ovakvom pristupu ??

Ali mislim da sam shvatio gdje griješim. Naime kod raznostraničnog trougla se visine ne sjeku u omjeru [inlmath]2:3[/inlmath]. Pa ne mogu se izraziti ni relacije koje sam ja dobio. Hvala svima na pomoći.

I evo da uradim zadatak da doprinesem nećemu ☺.

Površinu piramide označimo sa [inlmath]P_p[/inlmath] , visinu iz vrha [inlmath]B[/inlmath] sa [inlmath]h_B[/inlmath] i visinu piramide iz vrha [inlmath]B_1[/inlmath] sa [inlmath]h_{B_1}[/inlmath]. Ostale vrijednosti neću navoditi njih možemo isčitati sa slike.

Sa slike vidimo da zbog Pitagorine teoreme i činjenice da su svi uglovi pravi zbog kvadra vrijedi :
[dispmath]a^2+b^2=49\\
b^2+c^2=64\\
a^2+c^2=81[/dispmath]
Riješimo ovaj sistem i dobijamo sabiranjem druge i treće jednačine
[dispmath]2\cdot c^2+\left(a^2+b^2\right)=145[/dispmath]
Iz ovoga slijedi da je [inlmath]2\cdot c^2=145-49[/inlmath] tj. [inlmath]c^2=48[/inlmath] pa je
[dispmath]c=\sqrt{48}=4\cdot\sqrt3[/dispmath]
Vratimo se u prethodne jednađbe i dobijamo da je
[dispmath]a=\sqrt{33},\;b=4[/dispmath]
Površinu piramide možemo računati kao
[dispmath]P_p=\frac{1}{3}\cdot P_{ABC}\cdot h_{B_1}=\frac{1}{3}\cdot P_{ACB_1}\cdot h_B[/dispmath]
Primjetimo sa slike da je
[dispmath]h_{B_1}=c[/dispmath]
i da je
[dispmath]P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{33}\cdot4=2\cdot\sqrt{33}[/dispmath]
Pa je
[dispmath]P_p=\frac{1}{3}\cdot2\sqrt{33}\cdot\sqrt{33}=8\sqrt{11}[/dispmath]
Površinu trougla [inlmath]ACB_1[/inlmath] računamo preko Heronove formule i dobijamo da je [inlmath]P_{ACB_1}=12\cdot\sqrt5[/inlmath] i sada imamo da je
[dispmath]h_B=3\cdot\frac{P_p}{P_{ACB_1}}[/dispmath]
odnosno kada se uvrste odgovarajuće vrijednosti da je
[dispmath]h_B=\frac{2\cdot\sqrt{55}}{5}[/dispmath]

Postupak ti je OK, uz neke manje korekcije.

dzenan9999 je napisao:Površinu piramide možemo računati kao
[dispmath]P_p=\frac{1}{3}\cdot P_{ABC}\cdot h_{B_1}=\frac{1}{3}\cdot P_{ACB_1}\cdot h_B[/dispmath]

To nije površina, već zapremina piramide. Zapravo, svuda gde si pisao površina piramide treba da stoji zapremina piramide.

dzenan9999 je napisao:Pa je
[dispmath]P_p=\frac{1}{3}\cdot2\sqrt{33}\cdot{\color{red}\sqrt{33}}=8\sqrt{11}[/dispmath]

Ovo crveno ti je greška, uvrstio si [inlmath]a[/inlmath], umesto da si uvrstio [inlmath]c[/inlmath], koje iznosi [inlmath]4\sqrt3[/inlmath]. Ali, budući da ti je u produžetku ispravna vrednost, ovo si verovatno samo pogrešio u kucanju.

Druga stvar, uopšte nema potrebe za računanjem zapremine piramide. Na osnovu relacije iz prvog citata sledi
[dispmath]h_B=h_{B_1}\frac{P_{ABC}}{P_{ACB_1}}[/dispmath]
pa onda u tu formulu samo uvrstiš [inlmath]h_{B_1}[/inlmath] (tj. [inlmath]c[/inlmath]), [inlmath]P_{ABC}[/inlmath] i [inlmath]P_{ACB_1}[/inlmath].

---

I, da odgovorim na tvoja pitanja iz prethodnih postova:

dzenan9999 je napisao:Ja sam razmišljao slično kao Herien wolf. Kada se radi o tome da je baza trostrane piramide jednakostranični trougao, tada visina piramide iz vrha naspramnog tom trouglu pada na presjek triju visina unutar osnove.

To uopšte ne mora da bude slučaj. Piramida može u osnovi da ima jednakostranični trougao, a da visina piramide pada bilo gde u odnosu na taj trougao – može padati bilo gde unutar tog trougla, ili na neku od stranica trougla, pa čak i izvan tog trougla.

dzenan9999 je napisao:AKO sam ja dobro razumio piramide, visina piramide će uvijek padati na presjek visina baze????

Isti odgovor kao i malopre. Pri „fiksiranom“ trouglu u osnovi (sve ovo govorimo za slučaj trostranih piramida, kod kojih je osnova trougao), vrh piramide možemo sasvim proizvoljno „šetati“ tako da njegova projekcija na osnovu (tj. podnožnje visine piramide) bude bilo gde unutar trougla u osnovi, ili bilo gde van trougla u osnovi. Prema tome, uopšte ne mora biti u preseku visina (tj. u ortocentru) trougla u osnovi.
Kod pravih piramida vrh će padati u centar kružnice opisane oko osnove (ovo je posledica definicije prave piramide, kod koje su sve izvodnice međusobno jednake – pisao sam o tome nedavno, u ovom postu). Ali to je samo specijalan slučaj a i nikakve veze nema s ortocentrom.

dzenan9999 je napisao:P.S. ne bih rekao da tada vrijedi da je kvadar jednak kocki jer bi npr tu istu visinu iz vrha [inlmath]B[/inlmath] ja izrazio kao [inlmath]h_B^2+\left(\frac{2}{3}\cdot h_{CB_1}\right)^2=a^2[/inlmath].

Dobro, za ovo si se i sâm kasnije ispravio, primetivši da presek visina trougla (tj. njegov ortocentar) u opštem slučaju ne deli visine u odnosu [inlmath]1:2[/inlmath].
Verovatno si to bio pomešao s težišnim dužima – centar težišnih duži trougla (iliti težište) zaista deli težišne duži u odnosu [inlmath]1:2[/inlmath], kod svih trouglova. To nije slučaj s ortocentrom i visinama trougla.

Hvala na ispravci, a da nama matematičarima se nekad zna desiti da pišemo jedno , a mislimo drugo.

P.S. zapreminu piramide sam izračunao formalno(lakše mi nekako bilo za otkucat ... ). Još jednom Hvala Daniele