MATEMANIJA

oko pravokutnika čija je jedna stranica [inlmath]15[/inlmath] opisana je kružnica promjera [inlmath]25[/inlmath]. koliki je opseg pravokutnika? koliki je omjer opsega kružnice i kvadrata koji je upisan u tu kružnicu?

Obim pravougaonika je:
[dispmath]O=2(a+b)[/dispmath]
treba nam druga stranica - jednu imamo. Imamo precnik kruznice - [dispmath]2R=25[/dispmath] pa sledi da je [dispmath]R=12.5[/dispmath]
E sada kada je oko pravougaonika opisana kruznica vazi sledece: [dispmath]R=\frac{d}{2}[/dispmath] - [inlmath]d[/inlmath] je dijagonala pravougaonika - odatle sledi:
[dispmath]\frac{d}{2}=12.5[/dispmath]
[dispmath]d=25[/dispmath]
Pa sad trazimo drugu stranicu preko pitagorine teoreme:
[dispmath]d^2=a^2+b^2[/dispmath]
[dispmath]625=a^2+225[/dispmath]
[dispmath]a^2=400[/dispmath]
[dispmath]a=20[/dispmath]
Pa sad racunamo obim:
[dispmath]O=2(20+15)[/dispmath]
[dispmath]O=70\mbox{ cm}[/dispmath]
Sad trazimo odnos obima kruznice i obima kvadrata koji je upisan u istu:
prvo obim kruznice:
[dispmath]O_k=2r\pi[/dispmath]
[dispmath]O=25\pi[/dispmath]
Za obim kvadrata treba nam njegova stranica. Posto je kvadrat upisan u kruznicu vazi sledece:
[dispmath]R=\frac{d}{2}[/dispmath] tj.
[dispmath]R=\frac{a\sqrt 2}{2}[/dispmath]
[dispmath]12.5=\frac{a\sqrt 2}{2}[/dispmath]
[dispmath]25=a\sqrt 2[/dispmath]
[dispmath]a=\frac{25\sqrt 2}{2}[/dispmath]
Obim kvadrata je [dispmath]O=4a[/dispmath]
pa dobijamo da je obim [dispmath]O=50\sqrt 2[/dispmath]
Odnos obima je [dispmath]\frac{25\pi}{50\sqrt 2}=\frac{\pi}{2\sqrt 2}=\frac{\pi\sqrt 2}{4}[/dispmath]

Možemo primetiti da odnos obima kružnice i obima u nju upisanog kvadrata ne zavisi od dimenzija kružnice odnosno kvadrata, već ta vrednost, [inlmath]\frac{\pi\sqrt 2}{4}[/inlmath], važi i za opšti slučaj.