MATEMANIJA

Pozdrav svima.
Nabasao sam danas na zbirku iz geometrije i pronasao zadatak cija je formulacija sledeca:
Izracunati uglove trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], kod koga su centri opisanog i upisanog kruga simetricni u odnosu na stranicu [inlmath]AB[/inlmath]?


Na slici nije naznaceno, ali ja sam koristio oznake da je kod temena [inlmath]A[/inlmath] ugao [inlmath]\alpha[/inlmath], kod temena [inlmath]B[/inlmath] ugao [inlmath]\beta[/inlmath] i temena [inlmath]C[/inlmath] ugao [inlmath]\gamma[/inlmath]. Ja sam probao ovako:
[inlmath]\triangle SDA\cong\triangle DBO[/inlmath] na osnovu drugog stava podudarnosti.
Zatim posmatramo [inlmath]\angle CAB[/inlmath] i kazemo da vazi [inlmath]\angle CAB=\frac{1}{2}\cdot\angle COB[/inlmath] (odnos centralnog i periferijskog ugla nad tetivom) a kako prava koja spaja bilo koje teme trougla sa centrom upisanog kruga deli unutrasnji ugao na dva jednaka dela, onda se mogu postaviti sledece jednacine:
[inlmath]\frac{3\beta}{2}+\frac{3\beta}{2}+\angle COB=180^\circ[/inlmath], analogno i za drugi ugao i dobijemo sledece:
[inlmath]\alpha=90^\circ-\frac{3\beta}{2}[/inlmath]
[inlmath]\beta=90^\circ-\frac{3\beta}{2}\;\Rightarrow\;\alpha=\beta=36^\circ[/inlmath], [inlmath]\gamma=108^\circ[/inlmath].
Izvinjavam se zbog neprecizne slike (koja je pravljena po resenju koje sam dobio, za koje ne znam da li je tacno) i ovom prilikom bih zamolio nekoga da me uputi na neki laksi nacin ubacivanja slike u temu osim crtanja u paint-u (sto sam ja upravo mukotrpno i neprecizno uradio ).
Kao sto rekoh slika je pravljena po mom resenju, pa kako se dobije uocavanjem da je [inlmath]SD=DO[/inlmath], pretpostavljam da je moje resenje dobro, medjutim, bilo kakvo uocavanje nista ne dokazuje, zato vas molim da proverite ovo moje resenje iz razloga sto u zbirci nije bilo apsolutno nicega, pa cak ni nekog malog uputstva. Takodje bih zamolio i za neki alternativan nacin resavanja (trigonometrijski, koriscenjem nekih drugih osobina) posto ja drugacije od ovoga nisam uspeo. A gde se najbolje ogleda lepota matematike nego u cinjenici da se jedan zadatak moze resiti na milion nacina ?
Hvala svima unapred.

Potvrđujem tačnost rešenja.

Samo, nisam razumeo sledeće:

Gekko je napisao:[inlmath]\frac{3\beta}{2}+\frac{3\beta}{2}+\angle COB=180^\circ[/inlmath], analogno i za drugi ugao i dobijemo sledece:

Na osnovu kog trougla ovo uočavamo?
Ukoliko je u pitanju trougao [inlmath]\triangle BCO[/inlmath], na osnovu čega si zaključio da je [inlmath]\angle BCO=\frac{3\beta}{2}[/inlmath]?

Gekko je napisao:i ovom prilikom bih zamolio nekoga da me uputi na neki laksi nacin ubacivanja slike u temu osim crtanja u paint-u (sto sam ja upravo mukotrpno i neprecizno uradio ).

Ovo je moj izbor.

Gekko je napisao:Kao sto rekoh slika je pravljena po mom resenju, pa kako se dobije uocavanjem da je [inlmath]SD=DO[/inlmath], pretpostavljam da je moje resenje dobro, medjutim, bilo kakvo uocavanje nista ne dokazuje,

Dobra je slika sasvim. Ali, [inlmath]SD=DO[/inlmath] se ne dobije uočavanjem, već je to rečeno u uslovu zadatka – kod koga su centri opisanog i upisanog kruga simetricni u odnosu na stranicu [inlmath]AB[/inlmath].

Gekko je napisao:Takodje bih zamolio i za neki alternativan nacin resavanja (trigonometrijski, koriscenjem nekih drugih osobina) posto ja drugacije od ovoga nisam uspeo.

Pa, ja recimo uočavam ovo što si i ti napisao, da je [inlmath]\angle CAB=\frac{1}{2}\cdot\angle COB[/inlmath], što zapravo znači
[dispmath]\alpha=\frac{1}{2}\cdot\angle COB\tag1[/dispmath]
a takođe, posmatrajući trougao [inlmath]\triangle BDO[/inlmath], imamo [inlmath]\angle DOB=90^\circ-\angle OBD[/inlmath], tj. drugačije zapisano,
[dispmath]\angle COB=90^\circ-\frac{\alpha}{2}\tag2[/dispmath]
pa onda izjednačavanjem [inlmath]\angle COB[/inlmath] u jednačinama [inlmath](1)[/inlmath] i [inlmath](2)[/inlmath] dobijamo [inlmath]2\alpha=90^\circ-\frac{\alpha}{2}[/inlmath], a odatle [inlmath]\alpha=36^\circ[/inlmath].

Gekko je napisao:A gde se najbolje ogleda lepota matematike nego u cinjenici da se jedan zadatak moze resiti na milion nacina ?

Apsolutno se slažem!

Daniel je napisao:Samo, nisam razumeo sledeće:

Gekko je napisao:[inlmath]\frac{3\beta}{2}+\frac{3\beta}{2}+\angle COB=180^\circ[/inlmath], analogno i za drugi ugao i dobijemo sledece:

Na osnovu kog trougla ovo uočavamo?
Ukoliko je u pitanju trougao [inlmath]\triangle BCO[/inlmath], na osnovu čega si zaključio da je [inlmath]\angle BCO=\frac{3\beta}{2}?[/inlmath]

Tako je, trazeni zbir uocavamo u trouglu [inlmath]\triangle BCO[/inlmath] gde je faktor [inlmath]\frac{3\beta}{2}[/inlmath] dobijen trostrukim sabiranjem ugla [inlmath]\frac{\beta}{2}[/inlmath], sto je posledica podudarnosti koju sam dokazao na osnovu stava [inlmath]SUS[/inlmath].
A ovo da je i [inlmath]\angle BCO=\frac{3\beta}{2}[/inlmath] je posledica teoreme o jednakokrakom trouglu koja kaze da se naspram jednakih ivica u trouglu nalaze jednaki uglovi (i obratno), a ovde imamo taj uslov ispunjen jer je [inlmath]BO=R[/inlmath] i [inlmath]CO=R\;\Rightarrow\;CO=BO\;\Rightarrow\;\angle BCO=\frac{3\beta}{2}[/inlmath], osim ako nisam ja nesto prevideo?
Bolje da sam radio kao ti svakako bi manje vremena potrosio da sam to uocio...
Uu, bas su super ove stvari tipa Geogebra i Paint Shop Pro, cuo sam za njih ali sam potpuno zaboravio da postoje , Hvala .
A kada sam rekao da mi se cini da je resenje dobro zbog slike, krenuo sam od inverza, tj. od pretpostavke da ako sam dobro izracunao uglove, onda mora vaziti ovo sto je dato u zadatku, to jest da je [inlmath]SD=DO[/inlmath], jer sam ja sliku pravio tako sto sam (posto sam opet negde zaturio uglomer) lenjirom za koji znam da mu je jedan ugao trideset stepeni po ekranu priblizno skicirao ovih [inlmath]36^\circ[/inlmath] .
Osim ako ja negde nisam napravio neku katastrofalnu logicku gresku koju ne vidim trenutno .
E kada smo vec kod toga, znam da skrecem sa teme, ali meni nikada nije bilo jasno zasto pri sastavljanju tablice istinitosti za implikaciju ( [inlmath]p\Rightarrow q[/inlmath]) mora vaziti da je iskaz [inlmath]p\Rightarrow q[/inlmath] tacan onda kada je iskaz [inlmath]p[/inlmath] netacan a iskaz [inlmath]q[/inlmath] tacan?
Da preformulisem, kako je moguce da iz netacnog sledi tacno?

Ok, malo sam razmislio o ovome sta sam napisao i skapirao da mi je brzi jezik nego pamet .
Jesam napravio propust u logici a evo i zasto:
ja sam dobijene uglove izracunao pod pretpostavkom da su te dve duzi jednake, pa sam onda iz pretpostavke da sam dobro izracunao uglove rekao da su te dve duzi jednake...
Kuku meni...

Gekko je napisao:A ovo da je i [inlmath]\angle BCO=\frac{3\beta}{2}[/inlmath] je posledica teoreme o jednakokrakom trouglu koja kaze da se naspram jednakih ivica u trouglu nalaze jednaki uglovi (i obratno), a ovde imamo taj uslov ispunjen jer je [inlmath]BO=R[/inlmath] i [inlmath]CO=R\;\Rightarrow\;CO=BO\;\Rightarrow\;\angle BCO=\frac{3\beta}{2}[/inlmath], osim ako nisam ja nesto prevideo?

Ne, nisi ništa prevideo, nego meni nije bilo baš očigledno. Ali, sasvim OK postupak.

Gekko je napisao:Jesam napravio propust u logici a evo i zasto:
ja sam dobijene uglove izracunao pod pretpostavkom da su te dve duzi jednake, pa sam onda iz pretpostavke da sam dobro izracunao uglove rekao da su te dve duzi jednake...

Ne bih rekao da si napravio propust (osim ako i ja sad ne previđam nešto). Te dve duži i jesu jednake, [inlmath]OB=OC=R[/inlmath], kao što si i napisao u svom objašnjenju.

Gekko je napisao:E kada smo vec kod toga, znam da skrecem sa teme, ali meni nikada nije bilo jasno zasto pri sastavljanju tablice istinitosti za implikaciju ( [inlmath]p\Rightarrow q[/inlmath]) mora vaziti da je iskaz [inlmath]p\Rightarrow q[/inlmath] tacan onda kada je iskaz [inlmath]p[/inlmath] netacan a iskaz [inlmath]q[/inlmath] tacan?
Da preformulisem, kako je moguce da iz netacnog sledi tacno?

Implikacija ima istinitosnu vrednost zaključka ([inlmath]q[/inlmath]) samo onda kada je pretpostavka ([inlmath]p[/inlmath]) tačna.
Kada pretpostavka ([inlmath]p[/inlmath]) nije tačna, onda je nebitno da li je zaključak ([inlmath]q[/inlmath]) istinit ili ne – sama implikacija ne može biti netačna, jer tačnost pretpostavke [inlmath]p[/inlmath] nije ispunjena.
Pošto je ovo ipak rubrika „Geometrija“, i ovo nije pravo mesto za pitanja iz logike, navešću jedan primer u duhu postojeće rubrike, a i u vezi sa zadatkom u ovoj temi.
Ako je trougao jednakostraničan, onda je on jednakokraki.
Sasvim je jasno da je ova rečenica uvek tačna.
Pa čak i kad se primeni na ovaj trougao u zadatku koji si postavio, a koji nije jednakostraničan a jeste jednakokraki.
Imamo [inlmath]p\Rightarrow q[/inlmath], gde je:
[inlmath]p[/inlmath]: „trougao je jednakostraničan“
[inlmath]q[/inlmath]: „trougao je jednakokraki“
Znači, imamo da je [inlmath]p[/inlmath] netačno, a [inlmath]q[/inlmath] je tačno.
Bez obzira na to, implikacija (tj. rečenica u celini) jeste tačna.
Jer, tom rečenicom se samo navodi šta se dešava kada trougao jeste jednakostraničan (tada on mora biti i jednakokraki), ali se ništa ne govori o slučaju kada trougao nije jednakostraničan – tada je ostavljena i mogućnost da trougao bude jednakokraki, ali i mogućnost da ne bude jednakokraki.

Daniel je napisao:

Gekko je napisao:Jesam napravio propust u logici a evo i zasto:
ja sam dobijene uglove izracunao pod pretpostavkom da su te dve duzi jednake, pa sam onda iz pretpostavke da sam dobro izracunao uglove rekao da su te dve duzi jednake...

Ne bih rekao da si napravio propust (osim ako i ja sad ne previđam nešto). Te dve duži i jesu jednake, [inlmath]OB=OC=R[/inlmath], kao što si i napisao u svom objašnjenju.

Tacno u pravu, potpuno, tek sada vidim o cemu se radi, nego sam pomislio da sam sam sebe ubacio u ,,zamku zakljucivanja,, time sto sam ,,dokazao,,(uocio) nesto a u dokazu koristio isto to sto i trebam da dokazem, sto nije slucaj...
Sada mi je potpuno jasno ovo za implikaciju, hvala .