MATEMANIJA

[dispmath]s=\frac{a+b+c}{2}\\
P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}[/dispmath]
Svi znaju ovu formulu, takodje i nije teško izvesti je. Našao sam negde na netu ranije da postoji i formula pomoću koje računamo površinu ako su nam poznate sve tri visine trougla gde je:
[dispmath]H=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)\\\
\\\
P=\frac{1}{4\sqrt{H\left(H-\frac{1}{h_a}\right)\left(H-\frac{1}{h_b}\right)\left(H-\frac{1}{h_c}\right)}}[/dispmath] Moje pitanje je kako izvesti ovu formulu?? Nije baš praktična da se pamti, a sta god sam probao mnogo mi se iskomplikuje i ne mogu da doteram račun do kraja.
Ono što sam radio je sledeće:
[dispmath]P=\frac{ah_a}{2}=\frac{bh_b}{2}=\frac{ch_c}{2}\quad\Rightarrow\quad a=\frac{bh_b}{h_a};\quad b=\frac{ch_c}{h_b};\quad c=\frac{ah_a}{h_c}[/dispmath] Onda sam izračunao da je
[dispmath]s=\frac{\frac{bh_b}{h_a}+\frac{ch_c}{h_b}+\frac{ah_a}{h_c}}{2}=\frac{ah^2_ah_b+bh^2_bh_c+ch^2_ch_a}{2h_ah_bh_c}[/dispmath] I tu sam već zakomplikovao ali sam se nadao da će se srediti kad ubacim u [inlmath]P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}[/inlmath] i da će se izgubiti [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]. Možda i hoće, ali posle [inlmath]n[/inlmath] koraka, a ovde sa ovolikim izrazom za svaki poseban korak treba baš puno vremena.
Pokušao sam i da ubacujem u "nesređen" oblik heronovog obrasca koji se javi u jednom od koraka kad se izvodi.
Najjednostavniji mi je delovao oblik [inlmath]\displaystyle P=\frac{1}{4}\sqrt{\left((b+c)^2-a^2\right)\left(a^2-(b-c)^2\right)}[/inlmath], ali na kraju se pokazalo da ni to nije tako jednostavno.
Ima li neko neku ideju, ili savet kako da lakše izvedem ovo, da li možda treba i trigonometriju koristiti da se olakša račun?
I da li je sve ovo uopšte potrebno ako je zadatak da se izračuna površina trougla, ako imamo visine ili se može uraditi nešto lakše?

U Heronov obrazac uvrsti [inlmath]s=\frac{a+b+c}{2}[/inlmath] i dobićeš
[dispmath]P=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\tag1[/dispmath]
Zatim iz [inlmath]P=\frac{ah_a}{2}=\frac{bh_b}{2}=\frac{ch_c}{2}[/inlmath] izrazi [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] preko površine i odgovarajućih visina, i dobićeš
[dispmath]a=\frac{2P}{h_a},\quad b=\frac{2P}{h_b},\quad c=\frac{2P}{h_c}\tag2[/dispmath]
Uvrsti [inlmath](2)[/inlmath] u [inlmath](1)[/inlmath], izvuci [inlmath]4P^2[/inlmath] ispred korena... mislim da ćeš nakon toga videti kako dalje...

Hvala, naravno ove smernice su pomogle, znao sam da sam nešto mnogo iskomplikovao, samo mi se još lakše čini da se ubaci u [inlmath]P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}[/inlmath], jer se za [inlmath]s[/inlmath] dobije:
[dispmath]2s=\frac{2P}{h_a}+\frac{2P}{h_b}+\frac{2P}{h_c}\\
s=P\bigg(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\bigg)[/dispmath]
Dalje:
[dispmath]P=\sqrt{P\bigg(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\bigg)P\bigg(-\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\bigg)P\bigg(\frac{1}{h_a}-\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\bigg)P\bigg(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}-\frac{1}{h_c}\bigg)}[/dispmath]
izvučemo [inlmath]P^2[/inlmath] i podelimo sa [inlmath]P[/inlmath] obe strane:
[dispmath]1=P\sqrt{\bigg(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\bigg)\bigg(-\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\bigg)\bigg(\frac{1}{h_a}-\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\bigg)\bigg(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}-\frac{1}{h_c}\bigg)}[/dispmath]
E sad ja bih uveo smenu [inlmath]H=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}[/inlmath], pa onda dobijamo:
[dispmath]P^{-1}=\sqrt{H\bigg(H-\frac{2}{h_a}\bigg)\bigg(H-\frac{2}{h_b}\bigg)\bigg(H-\frac{2}{h_c}\bigg)}[/dispmath]
E ovo nije baš ona formula koju sam hteo da dobijem(onu sa interneta), ali je takodje funkcionalna i odradiće posao.

E sad ako baš hoćemo da sklonimo ovu dvojku onda je bolja smena [inlmath]H'=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)[/inlmath], ali to je sad lična stvar, kome je šta lakše da zapamti kao i ceo ovaj postupak, s obzirom na to da sam ja u ovom postu napisao šta je meni lakše.
Pozdrav!