MATEMANIJA

Evo jednog zanimljivog zadatka:
Neka su [inlmath]G[/inlmath] i [inlmath]H[/inlmath] tačke na stranicama [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath] trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] redom. Dokazati da težište tog trougla pripada duži [inlmath]GH[/inlmath] ako i samo ako je
[dispmath]\frac{GB}{AG}+\frac{HC}{AH}=1[/dispmath]

Ja sam pokušao preko Čevine i Menelajeve teoreme, međutim ne dobije se ništa poželjno, a gotovo sam siguran da se radi preko neke od te dve teoreme. Ukoliko neko vidi nešto korisno, ne ustručavajte se.

Ovo je zadatak za srednju skolu ili faks? Meni lici da se resava preko neke dvorazmere

Pa kao neka malo ozbiljnija geometrija za srednju... ne vidim na sta tacno mislis kada kazes da se resava dvorazmerom?

Nagadjam, kad vidim cetiri tacke koje pripadaju jednoj pravoj, mene to asocira na harmonijsku spregnutost. Ima teorema: cetiri tacke su harmonijski spregnute ako mi je dvorazmera [inlmath]-1[/inlmath]. Jos se nisam udubio u resavanje... :S

Ovde treba dokazati kolinearnost triju tacaka, ne cetiri.

Imali smo vec ovaj zadatak ovde (nije bio postavljen kao ako i samo ako, no trebalo bi da je od pomoci).