MATEMANIJA

površina bočne strane pravilne četverostrane piramide iznosi [inlmath]10[/inlmath], a kut bočne strane i osnovice je [inlmath]\alpha=60^\circ[/inlmath]. koliko iznosi volumen piramide?

Kad skiciraš ćeš primijetiti da je ovo lakše nego šta smo i ti i ja mislili
Možda sam sanja, ka da mi je neko pokaza;
[dispmath]\frac{a\cdot v_a}{2}=10\;\Rightarrow\;a\cdot v_a=20\\
\cos 60^\circ=\frac{\frac{a}{2}}{v_a}[/dispmath]
[dispmath]a=\frac{20}{v_a}\;\Rightarrow\;\frac{a}{2}=\frac{10}{v_a}\\
\cos 60^\circ=\frac{10}{{v_a}^2}\;\Rightarrow\;v_a=\sqrt{20}=2\sqrt 5[/dispmath]
[dispmath]a=\frac{20}{2\sqrt 5}=\frac{10}{\sqrt 5}[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{1}{3}\cdot B\cdot v[/dispmath]
[dispmath]v^2={v_a}^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2\\
v=\sqrt5[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{20\sqrt5}{3}[/dispmath]

blake je napisao:[inlmath]v^2={v_a}^2-(a/2)^2[/inlmath]
[inlmath]v=\sqrt5[/inlmath]

Ovde se potkrala greščica. Iz [inlmath]v^2={v_a}^2-(a/2)^2[/inlmath] treba da se dobije [inlmath]v=\sqrt{15}[/inlmath].
A konačno rešenje treba da bude [inlmath]V=\frac{20\sqrt{15}}{3}[/inlmath].

Inače, rešavanje zadataka može biti dodatno olakšano ako odmah uočimo jednakostraničan trougao unutar ove piramide (na slici obojen zelenkasto):


Da je taj trougao jednakostraničan, zaključujemo na osnovu njegovih uglova, koji iznose [inlmath]60^\circ[/inlmath]. Pošto mu je jedna stranica [inlmath]a[/inlmath], a druge dve stranice [inlmath]v_a[/inlmath], zaključujemo i da je [inlmath]a=v_a[/inlmath].
Takođe, pošto je visina piramide [inlmath]v[/inlmath] jednaka visini tog jednakostraničnog trougla, zaključujemo da je visina piramide [inlmath]v=\frac{a\sqrt 3}{2}[/inlmath].

I sad dalje sve ide veoma brzo:[dispmath]\frac{av_a}{2}=\frac{a^2}{2}=10\quad\Rightarrow\quad a^2=20\quad\Rightarrow\quad a=2\sqrt 5[/dispmath][dispmath]V=\frac{1}{3}B\cdot v=\frac{1}{3}a^2\cdot\frac{a\sqrt 3}{2}=\frac{a^3\sqrt 3}{6}=\frac{\left(2\sqrt 5\right)^3\sqrt 3}{6}=\frac{8\cdot 5\sqrt 5\sqrt 3}{6}=\frac{20\sqrt{15}}{3}[/dispmath]