MATEMANIJA

Pozdrav, već neko vreme pokušavam da uradim zadatke u kojima imam stranicu [inlmath]a[/inlmath] i poluprecnik upisanog kruga u jednokrakom trouglu. Potrebno je naći površinu i obim. Da li neko ima ideju kako se rade ovakvi zadaci?

Pretpostavljam da ti je poznata osnovica [inlmath]a[/inlmath] i poluprečnik [inlmath]r[/inlmath]

Prvo mi je na pamet pala ideja sa trigonometrijom. Ako uzmemo da je ugao na osnovici jednak [inlmath]\alpha[/inlmath] u trouglu [inlmath]ABC[/inlmath]. Ako povučemo visinu iz tjemena [inlmath]C[/inlmath] na osnovicu [inlmath]AB[/inlmath] u [inlmath]A_1[/inlmath], tada možemo uočiti pravougli trougao [inlmath]AA_1C[/inlmath], tada je [inlmath]\cos\alpha=\frac{\frac{a}{2}}{b}=\frac{a}{2b}\;(1)[/inlmath]
Znamo da je centar upisanog kruga presjek simetrala uglova trougla, povučemo simetralu ugla [inlmath]\alpha[/inlmath], i onda uočimo trougao [inlmath]AA_1S[/inlmath], gdje je [inlmath]S[/inlmath] centar upisanog kruga trougla [inlmath]ABC[/inlmath].
Tada je [inlmath]\text{tg }\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{\frac{a}{2}}=\frac{2r}{a}\;(2)[/inlmath].
Lako se izvodi formula [inlmath]\text{tg}^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}[/inlmath], uvrstimo [inlmath](1)[/inlmath] i [inlmath](2)[/inlmath] u ovu formulu, i nakon sređivanja dobijamo da je
[dispmath]b=\frac{4ar^2+a^3}{2a^2-8r^2}[/dispmath] I sad lako izračunaš površinu i obim trougla

---

Ispisaću još jedno rješenje:
Ako se sjetimo formule za površinu [inlmath]P=\frac{a\cdot h_a}{2}[/inlmath], a [inlmath]h_a=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}[/inlmath], i sve to uvrstimo u [inlmath]P=r\cdot s[/inlmath], gdje je [inlmath]s[/inlmath] poluobim, nakon kraćeg sređivanja dobijemo krak [inlmath]b[/inlmath]

Može i preko sličnosti trouglova [inlmath]\triangle AC_1C[/inlmath] i [inlmath]\triangle ODC[/inlmath], gde je
[inlmath]C_1[/inlmath] – podnožje visine iz vrha [inlmath]C[/inlmath] na osnovicu [inlmath]AB[/inlmath];
[inlmath]O[/inlmath] – centar upisane kružnice;
[inlmath]D[/inlmath] – tačka na kraku [inlmath]AC[/inlmath] takva da je [inlmath]OD\perp AC[/inlmath].

@Cona
Dve primedbe:
Pitanja se moraju postavljati precizno. Mi smo sad pretpostavili da pod „stranicom [inlmath]a[/inlmath]“ podrazumevaš osnovicu (i obično se osnovica i obeležava sa [inlmath]a[/inlmath]), ali uvek je to potrebno jasno navesti, kako bi se izbegle nedoumice.
Drugo, korigovao sam ti pravopis. Nakon tačke i nakon zareza stavlja se razmak.