MATEMANIJA

Imam problem da rešim sledeći zadatak:

˝Ako je data kružnica [inlmath]k[/inlmath], njen prečnik [inlmath]AB[/inlmath] i tačka [inlmath]P[/inlmath] koja se nalazi na kružnici i ne pripada prečniku, da li je moguće konstruisati normalu na prečnik iz [inlmath]P[/inlmath], koristeći se samo pravim (za crtanje koristimo samo lenjir).˝

Ja sam uradio samo sledeće:
Kroz još jednu tačku na kružnici, tačku [inlmath]C[/inlmath], različitu od date tri tačke, a na manjem od lukova [inlmath]\overset{\frown}{AP}[/inlmath], konstruisao sam pravu, koja se sa pravom [inlmath]p(B,P)[/inlmath] seče u [inlmath]D[/inlmath]. Sledi da je presek [inlmath]AP[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] ortocentar trougla [inlmath]ABD[/inlmath] (označimo ga sa [inlmath]Q[/inlmath]). Neka [inlmath]p(D,Q)[/inlmath] seče prečnik u [inlmath]E[/inlmath].
NIsam dobio ništa korisno. Pretpostavljam da treba docrtati neke prave kroz dobro odabrane nove tačke, ali ne znam kroz koje. Molim vas za pomoć!

Hm, da li se podrazumeva da je pomoću lenjira moguće konstruisati tangentu na kružnicu u datoj tački?

Neka je [inlmath]C[/inlmath] tacka koja pripada pravoj [inlmath]AP[/inlmath], takva da je [inlmath]BC\cap k\neq\emptyset[/inlmath] (obelezimo da je [inlmath]BC\cap k=Q[/inlmath]). Tada je [inlmath]\angle APB=\angle AQB=90^{\circ}[/inlmath], pa je [inlmath]AQ\cap BP=H[/inlmath] zapravo ortocentar trougla [inlmath]ABC[/inlmath]. Zato je i prava [inlmath]CH[/inlmath] normalna na pravu [inlmath]AB[/inlmath]. Oznacimo i sa [inlmath]D[/inlmath], tj. [inlmath]E[/inlmath], preseke prave [inlmath]CH[/inlmath] i kruznice [inlmath]k[/inlmath] (pri cemu smo sa [inlmath]D[/inlmath] oznacili tacku preseka koja je sa iste strane precnika [inlmath]AB[/inlmath] kao i tacka [inlmath]P[/inlmath]) i neka je [inlmath]F=DP\cap AB[/inlmath] i [inlmath]G=FE\cap k[/inlmath]. Tada je prava [inlmath]PG[/inlmath] normalna na [inlmath]AB[/inlmath] (neka to ostane da dokazes sam).

Edit: tek sada sam procitao tvoju konstrukciju. Vidim da si bio blizu. Fino.