MATEMANIJA

Zadatak glasi:
Dokazati da se simetrale stranica trougla seku u jednoj tački koju nazivamo centar opisanog kruga.
(tačka [inlmath]A_1[/inlmath] se nalazi između [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], tačka [inlmath]B_1[/inlmath] se nalazi između [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], tačka [inlmath]C_1[/inlmath] se nalazi između [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath])

Da bismo pokazali da je [inlmath]OC_1[/inlmath] simetrala stranice [inlmath]AB[/inlmath], treba dokazati [inlmath]\vec{OC_1}\cdot\vec{AB}=0[/inlmath]:
[inlmath]\vec{OA_1}\cdot\vec{BC}=0[/inlmath]
[inlmath]\vec{OA_1}=\frac{1}{2}\vec{OC}+\frac{1}{2}\vec{OB}[/inlmath], zato što su [inlmath]C[/inlmath], [inlmath]A_1[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] kolinearne i [inlmath]\left|\vec{CA_1}\right|=\left|\vec{A_1B}\right|[/inlmath].

A pitanje glasi: kako su dobijene ove dve polovine u poslednjem redu? Hvala unapred.

Imaš da je
[dispmath]\vec{OA_1}=\vec{OB}+\vec{BA_1}\\
\vec{OA_1}=\vec{OC}+\vec{CA_1}[/dispmath] pa te dve jednačine sabereš.

Drugi način je da [inlmath]\vec{OA_1}[/inlmath] posmatraš kao polovinu dijagonale paralelograma konsruisanog nad vektorima [inlmath]\vec{OB}[/inlmath] i [inlmath]\vec{OC}[/inlmath].