MATEMANIJA

Četverokut [inlmath]ABCD[/inlmath] upisan je u kružnicu tako da je dijagonala [inlmath]\overline{AC}[/inlmath] ujedno i promjer kružnice.
Dijagonale [inlmath]\overline{AC}[/inlmath] i [inlmath]\overline{BD}[/inlmath] su međusobno okomite.
Ako je [inlmath]\left|\overline{BD}\right|=\sqrt{10}[/inlmath] i [inlmath]\left|\overline{CD}\right|=5\sqrt 5[/inlmath] , kolika je duljina dijagonale [inlmath]\left|\overline{AC}\right|?[/inlmath]

Iz trokuta [inlmath]CDE[/inlmath] slijedi;
[dispmath]x^2=\left(5\sqrt 5\right)^2-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2=\frac{245}{2}\;\Rightarrow\;x=\frac{7\sqrt{10}}{2}[/dispmath]
Kako dalje?
Imam postupak koji kaže;
[dispmath]\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2=\frac{7\sqrt{10}}{2}\cdot\left(2r-\frac{7\sqrt{10}}{2}\right)[/dispmath]
Ali to mi nema logike

Prvo, koji je to četvorougao? Čim mu je jedna dijagonala prečnik opisane kružnice, a druga dijagonala normalna na prvu, radi se o – deltoidu. E, a pošto je to deltoid koji je upisan u kružnicu, zaključujemo da je to posebna vrsta deltoida koji ima dva prava ugla, [inlmath]\angle ABC[/inlmath] i [inlmath]\angle CDA[/inlmath]. Zašto su ti uglovi pravi – pa, zato što su to periferni uglovi nad prečnikom kružnice.

Dalje radiš tako što uočiš sličnost pravouglih trouglova [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], [inlmath]\triangle AEB[/inlmath] i [inlmath]\triangle BEC[/inlmath], pri čemu je tačka [inlmath]E[/inlmath] presek dijagonala.

Postupak koji tebe buni, tj. formula[dispmath]\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2=\frac{7\sqrt{10}}{2}\cdot\left(2r-\frac{7\sqrt{10}}{2}\right)[/dispmath]dobijena je iz proporcije na osnovu sličnosti trouglova [inlmath]\triangle AEB[/inlmath] i [inlmath]\triangle BEC[/inlmath]:[dispmath]\left|\overline{EC}\right|:\left|\overline{EB}\right|=\left|\overline{EB}\right|:\left|\overline{EA}\right|[/dispmath]tj.[dispmath]\frac{7\sqrt{10}}{2}:\frac{\sqrt{10}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}:\left(2r-\frac{7\sqrt{10}}{2}\right)[/dispmath]mada je, po meni, za nijansu elegantnije to uraditi direktnom primenom sličnosti na trouglove [inlmath]\triangle BEC[/inlmath] i [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]:[dispmath]\left|\overline{EC}\right|:\left|\overline{BC}\right|=\left|\overline{BC}\right|:\left|\overline{AC}\right|[/dispmath][dispmath]\frac{7\sqrt{10}}{2}:5\sqrt 5\mathop=5\sqrt 5:\left|\overline{AC}\right|[/dispmath][dispmath]\dots[/dispmath][dispmath]\left|\overline{AC}\right|=\frac{25\sqrt{10}}{7}[/dispmath]

Ajme ovo je ona geometrijska sredina, moram to zapisat više... u mozak

E jeste, upravo geometrijska sredina. Bravo.