MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF - 10. jun 2017.
8. zadatak

Trougao [inlmath]PQR[/inlmath] jednoznacno je odredjen uslovima [inlmath]PQ=6[/inlmath], [inlmath]PR=k[/inlmath], [inlmath]\angle PQR=30^\circ[/inlmath]. Sve moguce vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] su?
Prvo sam nacrtala sliku trougla, zatim sam povukla visinu od stranice [inlmath]PQ[/inlmath] i dobija se klasican pravougli trougao sa [inlmath]30^\circ,60^\circ,90^\circ[/inlmath]. Odakle sledi da je [inlmath]\cos30^\circ=\frac{6}{RQ},\;RQ=4\sqrt3[/inlmath] odatle... nakon toga posto imam ugao zahvacen stranicama [inlmath]PQ[/inlmath] i [inlmath]RQ[/inlmath] i navedene stranice, mislila sam da izracunam povrsinu trougla preko formule da je [inlmath]P=\frac{1}{2}\cdot\sin30^\circ\cdot PQ\cdot QR[/inlmath] i za [inlmath]P[/inlmath] se dobija [inlmath]6\sqrt3[/inlmath]. Nakon toga sam mislila da izracunam visinu nepoznate stranice, gde se opet dobija trougao sa sledecim uglovima
[inlmath]30^\circ,60^\circ,90^\circ[/inlmath] i hipotenuza je [inlmath]6[/inlmath] a stranica nad uglom od [inlmath]30^\circ[/inlmath] je polovina hipotenuze, pa je [inlmath]h=3[/inlmath]. Kada uvrstim sada visinu u formulu za povrsinu trougla [inlmath]P=\frac{1}{2}\cdot h\cdot PR[/inlmath] ne dobijam nijedan od ponudjenih odgovora kao resenje za stranicu [inlmath]PR[/inlmath], ja dobijam [inlmath]4\sqrt3[/inlmath]. Gde sam pogresila?

Nađa je napisao:Odakle sledi da je [inlmath]\cos30^\circ=\frac{6}{RQ},\;RQ=4\sqrt3[/inlmath]

Kako ovo sledi?

Nađa je napisao:Prvo sam nacrtala sliku trougla, zatim sam povukla visinu od stranice [inlmath]PQ[/inlmath] i dobija se klasican pravougli trougao sa [inlmath]30^\circ,60^\circ,90^\circ[/inlmath].

I zašto sad lepo ne izračunaš [inlmath]PR[/inlmath] umesto što si se zapetljala sa svim onim nepotrebnim stvarima?

Drugo, molim te da uvek navedeš ponuđene odgovore, ukoliko ih imaš.

Jao xD ne uzima se cela duzina [inlmath]PQ[/inlmath] xD. Ponudjeni odgovori su [inlmath]A)\;k=3\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;k=6\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;k=3,\;k=6\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;k=3,\;k\ge6\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;k\ge6[/inlmath]

Kako da izracunam [inlmath]PR[/inlmath]?

Sa skice, ako si je nacrtala, trebalo bi da je sve sasvim jasno. Ako je [inlmath]\angle PRQ[/inlmath] prav, tada je trougao jednoznačno određen takvom vrednošću [inlmath]PR[/inlmath] (i onim preostalim dvema zadatim vrednostima). Izračunaj koja je to vrednost [inlmath]PR[/inlmath]. Ako sada malo povećaš tu vrednost [inlmath]PR[/inlmath], tada trougao već neće biti jednoznačno određen, jer ćeš imati dva moguća trougla – jedan kod kojeg je [inlmath]\angle PRQ[/inlmath] oštar, a drugi kod kojeg je [inlmath]\angle PRQ[/inlmath] tup. Daljim povećavanjem [inlmath]PR[/inlmath] doći ćeš do drugog graničnog slučaja, kada [inlmath]PR[/inlmath] dostigne dužinu [inlmath]PQ[/inlmath]. Za [inlmath]PR\ge PQ[/inlmath] više neće biti moguće konstruisati trougao s tupim uglom [inlmath]\angle PRQ[/inlmath], već samo s oštrim uglom [inlmath]\angle PRQ[/inlmath].

Nađa je napisao:Jao xD ne uzima se cela duzina [inlmath]PQ[/inlmath] xD.

Ovaj deo nisam razumeo.

Ali nije prav

Aha, mislite da povecavam duzinu [inlmath]PR[/inlmath] dok ne dobijem jednakostranican trougao?

Nađa je napisao:dok ne dobijem jednakostranican trougao?

Hajde molim te, saberi se, lepo se koncentriši i pročitaj još jednom moje uputstvo, od početka do kraja.

Kada je [inlmath]\angle PRQ[/inlmath] prav [inlmath]PR=3[/inlmath], ali nisam bas najbolje razumela kada je trougao jednoznacno odredjen i zasto treba da se povecava vrednost [inlmath]PR[/inlmath]? Mislim resenje jeste pod [inlmath]D)[/inlmath] Ustvari, aha xD moguce su tri slike tog trougla? Kada je [inlmath]\angle QPR[/inlmath] ostar i kada je tup, kada je tup to je ili je jednakokraki trougao i tada je [inlmath]PR=6[/inlmath] ili su opet sve stranice razlicite pa je duzina [inlmath]PR\ge6[/inlmath], a kada je ostar [inlmath]PR=3[/inlmath]? Da li sam uspela da ispratim sta ste hteli da kazete?

I da kada sam rekla da se ne uzima cela duzina [inlmath]PQ[/inlmath] sam ustvari videla da sam pogresila pri svom prvom resavanju zadatka, tj. kada sam spustila visinu stranice [inlmath]PQ[/inlmath], podnozje visine sam oznacila sa temenom [inlmath]D[/inlmath] i rekla sam da je [inlmath]DQ=6[/inlmath] sto nije tacno...