MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF - 10. jun 2017.
8. zadatak

Trougao [inlmath]PQR[/inlmath] jednoznacno je odredjen uslovima [inlmath]PQ=6[/inlmath], [inlmath]PR=k[/inlmath], [inlmath]\angle PQR=30^\circ[/inlmath]. Sve moguce vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] su?
Prvo sam nacrtala sliku trougla, zatim sam povukla visinu od stranice [inlmath]PQ[/inlmath] i dobija se klasican pravougli trougao sa [inlmath]30^\circ,60^\circ,90^\circ[/inlmath]. Odakle sledi da je [inlmath]\cos30^\circ=\frac{6}{RQ},\;RQ=4\sqrt3[/inlmath] odatle... nakon toga posto imam ugao zahvacen stranicama [inlmath]PQ[/inlmath] i [inlmath]RQ[/inlmath] i navedene stranice, mislila sam da izracunam povrsinu trougla preko formule da je [inlmath]P=\frac{1}{2}\cdot\sin30^\circ\cdot PQ\cdot QR[/inlmath] i za [inlmath]P[/inlmath] se dobija [inlmath]6\sqrt3[/inlmath]. Nakon toga sam mislila da izracunam visinu nepoznate stranice, gde se opet dobija trougao sa sledecim uglovima
[inlmath]30^\circ,60^\circ,90^\circ[/inlmath] i hipotenuza je [inlmath]6[/inlmath] a stranica nad uglom od [inlmath]30^\circ[/inlmath] je polovina hipotenuze, pa je [inlmath]h=3[/inlmath]. Kada uvrstim sada visinu u formulu za povrsinu trougla [inlmath]P=\frac{1}{2}\cdot h\cdot PR[/inlmath] ne dobijam nijedan od ponudjenih odgovora kao resenje za stranicu [inlmath]PR[/inlmath], ja dobijam [inlmath]4\sqrt3[/inlmath]. Gde sam pogresila?

Nađa je napisao:Odakle sledi da je [inlmath]\cos30^\circ=\frac{6}{RQ},\;RQ=4\sqrt3[/inlmath]

Kako ovo sledi?

Nađa je napisao:Prvo sam nacrtala sliku trougla, zatim sam povukla visinu od stranice [inlmath]PQ[/inlmath] i dobija se klasican pravougli trougao sa [inlmath]30^\circ,60^\circ,90^\circ[/inlmath].

I zašto sad lepo ne izračunaš [inlmath]PR[/inlmath] umesto što si se zapetljala sa svim onim nepotrebnim stvarima?

Drugo, molim te da uvek navedeš ponuđene odgovore, ukoliko ih imaš.

Jao xD ne uzima se cela duzina [inlmath]PQ[/inlmath] xD. Ponudjeni odgovori su [inlmath]A)\;k=3\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;k=6\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;k=3,\;k=6\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;k=3,\;k\ge6\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;k\ge6[/inlmath]

Kako da izracunam [inlmath]PR[/inlmath]?

Sa skice, ako si je nacrtala, trebalo bi da je sve sasvim jasno. Ako je [inlmath]\angle PRQ[/inlmath] prav, tada je trougao jednoznačno određen takvom vrednošću [inlmath]PR[/inlmath] (i onim preostalim dvema zadatim vrednostima). Izračunaj koja je to vrednost [inlmath]PR[/inlmath]. Ako sada malo povećaš tu vrednost [inlmath]PR[/inlmath], tada trougao već neće biti jednoznačno određen, jer ćeš imati dva moguća trougla – jedan kod kojeg je [inlmath]\angle PRQ[/inlmath] oštar, a drugi kod kojeg je [inlmath]\angle PRQ[/inlmath] tup. Daljim povećavanjem [inlmath]PR[/inlmath] doći ćeš do drugog graničnog slučaja, kada [inlmath]PR[/inlmath] dostigne dužinu [inlmath]PQ[/inlmath]. Za [inlmath]PR\ge PQ[/inlmath] više neće biti moguće konstruisati trougao s tupim uglom [inlmath]\angle PRQ[/inlmath], već samo s oštrim uglom [inlmath]\angle PRQ[/inlmath].

Nađa je napisao:Jao xD ne uzima se cela duzina [inlmath]PQ[/inlmath] xD.

Ovaj deo nisam razumeo.

Ali nije prav

Aha, mislite da povecavam duzinu [inlmath]PR[/inlmath] dok ne dobijem jednakostranican trougao?

Nađa je napisao:dok ne dobijem jednakostranican trougao?

Hajde molim te, saberi se, lepo se koncentriši i pročitaj još jednom moje uputstvo, od početka do kraja.

Kada je [inlmath]\angle PRQ[/inlmath] prav [inlmath]PR=3[/inlmath], ali nisam bas najbolje razumela kada je trougao jednoznacno odredjen i zasto treba da se povecava vrednost [inlmath]PR[/inlmath]? Mislim resenje jeste pod [inlmath]D)[/inlmath] Ustvari, aha xD moguce su tri slike tog trougla? Kada je [inlmath]\angle QPR[/inlmath] ostar i kada je tup, kada je tup to je ili je jednakokraki trougao i tada je [inlmath]PR=6[/inlmath] ili su opet sve stranice razlicite pa je duzina [inlmath]PR\ge6[/inlmath], a kada je ostar [inlmath]PR=3[/inlmath]? Da li sam uspela da ispratim sta ste hteli da kazete?

I da kada sam rekla da se ne uzima cela duzina [inlmath]PQ[/inlmath] sam ustvari videla da sam pogresila pri svom prvom resavanju zadatka, tj. kada sam spustila visinu stranice [inlmath]PQ[/inlmath], podnozje visine sam oznacila sa temenom [inlmath]D[/inlmath] i rekla sam da je [inlmath]DQ=6[/inlmath] sto nije tacno...

Nađa je napisao:Da li sam uspela da ispratim sta ste hteli da kazete?

Nisam sad ja uspeo da ispratim šta ti želiš da kažeš (iako sam pročitao nekoliko puta), jer pišeš prilično konfuzno.
Kakav sad ugao [inlmath]\angle QPR[/inlmath], njega uopšte nisam pominjao? On je potpuno nebitan u celoj priči.

Hajde ovako. Da li umeš da konstruišeš (lenjirom i šestarom) trougao [inlmath]\triangle PQR[/inlmath] kod kojeg je zadato [inlmath]PQ=6[/inlmath], [inlmath]\angle PQR=30^\circ[/inlmath] i neka bude, recimo, [inlmath]PR=4[/inlmath]?
Ako uradiš tu konstrukciju, odgovor će ti se sâm nametnuti.

Umem, ali ugao kod temena [inlmath]R[/inlmath] onda nije prav, mislim bice prav kada se [inlmath]PR[/inlmath] smanji na [inlmath]3[/inlmath], a tup kada se [inlmath]PR[/inlmath] poveca to mi je jasno

A ko je rekao da mora biti prav?
Da li će biti prav zavisi od vrednosti [inlmath]PR[/inlmath], a u ovom slučaju sam odabrao [inlmath]PR[/inlmath] tako da taj ugao ne bude prav.
OK, i kad si to konstruisala, koliko si mogućih trouglova dobila koji odgovaraju zadatim podacima?

Tri

Ova tema je već počela da gubi svoj smisao i da prelazi u sprdnju.
A ionako je već sve objašnjeno.
Katanac.