MATEMANIJA

Zadatak glasi:
Dat je trougao [inlmath]ABC[/inlmath] i tacke [inlmath]D[/inlmath] i [inlmath]E[/inlmath] na stranicama [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath], takve da je duz [inlmath]DE[/inlmath] paralelna stranici [inlmath]AB[/inlmath]. Ako teziste datog trougla pripada duzi [inlmath]DE[/inlmath], tada je odnos povrsina trougla [inlmath]CDE[/inlmath] i trapeza [inlmath]ABED[/inlmath] jednak:
Odgovor je [inlmath]4:5[/inlmath]

Za ovaj zadatak nemam nikakvu ideju jer nema datih duzina i jer je raznostran trougao u pitanju. Unapred hvala!

Ja bih prvo nacrtala trougao...odredila bih sredinu duzi [inlmath]AB[/inlmath], sa [inlmath]A'[/inlmath] na primer, posto ti je dato teziste odnos [inlmath]CT:CA'=2:3[/inlmath], sada je manje vise resen zadatak.
Primenis Talesovu teoremu po kojoj je [inlmath]CD:CA=CE:CB=2:3[/inlmath]...
Odredis prvo odnos povrsina manjeg i veceg trougla (jer povrsinu trapeza necu da racunam, izrazicu preko neceg...)
Odnos povrsina je
[dispmath]\frac{CD}{CA}\cdot\frac{CE}{CD}=\frac{4}{9}[/dispmath] Povrsina trapeza je razlika manjeg od veceg trougla odnosno
[dispmath]P_{\text{trapeza}}=1-\frac{4}{9}[/dispmath] I na kraju za trazeni odnos dobijas
[dispmath]\frac{4}{5}[/dispmath]

Odgovor je u principu u redu, al' moram malko da intervenišem...

Nađa je napisao:odredila bih sredinu duzi [inlmath]AB[/inlmath], sa [inlmath]A'[/inlmath] na primer, posto ti je dato teziste odnos [inlmath]CT:CA'=2:3[/inlmath],

Uobičajeno je (a i vrlo preporučljivo) da se krajnje tačke iste težišne duži označavaju istim slovom (s tim da je jedna sa prim). Znači, ne težišna duž [inlmath]CA'[/inlmath], već [inlmath]CC'[/inlmath]. Tj. da tačka [inlmath]C'[/inlmath] bude na sredini stranice [inlmath]AB[/inlmath].

Nađa je napisao:[dispmath]P_{\text{trapeza}}=1-\frac{4}{9}[/dispmath]

Odavde kako je napisano, ispade da smo tačno odredili površinu trapeza, iako to nije slučaj. S raspoloživim podacima, možemo odrediti samo odnose odgovarajućih vrednosti, ali ne i vrednosti.
Da je pisalo [inlmath]P_{\text{trapeza}}=\left(1-\frac{4}{9}\right)P_{\triangle ABC}[/inlmath], to bi već bilo u redu.

---

Ja bih malo uprostio postupak. Pošto je [inlmath]CT:CC'=2:3[/inlmath], a trouglovi [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle DEC[/inlmath] su slični, a kod sličnih trouglova površine stoje u istom međusobnom odnosu kao kvadrati odgovarajućih dužina (u dužine spadaju i težišne duži), to je [inlmath]P_{\triangle DEC}:P_{\triangle ABC}=4:9[/inlmath]. Na kraju se iskoristi da je površina traženog trapeza jednaka
[dispmath]P_{ABED}=P_{\triangle ABC}-P_{\triangle DEC}=\frac{9}{4}P_{\triangle DEC}-P_{\triangle DEC}=\frac{5}{4}P_{\triangle DEC}[/dispmath] i to je to...