MATEMANIJA

Prijemni ispit na Građevinskom fakultetu – 28. jun 2016.
15. zadatak

Da li neko moze da mi pomogne u resavanju ovog zadatka: Trougao cije su stranice jednake [inlmath]a=21\text{ cm}[/inlmath], [inlmath]b=17\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]c=10\text{ cm}[/inlmath] rotira oko stranice [inlmath]a[/inlmath]. Izracunati zapreminu nastalog tela.

Ajmo da krenemo. Da li znaš kako izgleda telo koje nastaje rotacijom trougla oko jedne od stranica? Ako ti je lakše, iseci trougao od papira, pa ga zarotiraj oko jedne stranice i posmatraj kakvu putanju opisuju druge dve stranice i ono treće teme trougla. Formulu za zapreminu tog tela znaš. Pokušaj ovo, pa ako "zaribaš", reci u cemu je problem, pa da rešavamo dalje.

Ja ću mu pomoći informacijom da je površina trougla tačno [inlmath]84[/inlmath] pa će visina koja odgovara stranici [inlmath]a[/inlmath] biti "lep" broj.
Naravno dobija se primenom Heronovog obrasca, ali to može kasnije da proveri.

Znam, nastaju dve kupe slepljene bazama. Povrsinu sam nasao preko Heronovog obrasca koja iznosi [inlmath]84[/inlmath], nakon ovoga sam primenio drugi obrazac za povrsinu trougla: [inlmath]P=\frac{a\cdot h}{2}[/inlmath] i na ovaj nacin sam izracunao [inlmath]r[/inlmath] koje iznosi [inlmath]2\text{ cm}[/inlmath]. Posle sam preko pitagorine teoreme pokusao da izrazim [inlmath]H[/inlmath], ali ne moze...

Nije valjda da ti ne radi Pitagorina teorema verovatno hoćeš reći da se ne dobijaju celi brojevi kao rešenja. To je posledica toga što poluprečnik iznosi [inlmath]8[/inlmath] a ne [inlmath]2[/inlmath]. Ako malo razmisliš shvatićeš da nema potrebe da računaš visinu pojedinačnih kupa.

Dovoljna ti je visina trougla koja odgovara stranici [inlmath]a[/inlmath]. Lepo si primetio da dobiješ dve kupe sa zajedničkom bazom i da je visina trougla poluprečnik baze kupe (obeležimo ga sa [inlmath]r[/inlmath]). Ako zapremine ove dve kupe obeležimo sa [inlmath]V_1[/inlmath] i [inlmath]V_2[/inlmath], njihove visine sa, redom, [inlmath]H_1[/inlmath] i [inlmath]H_2[/inlmath], ukupna zapremina će biti:
[dispmath]V=V_1+V_2[/dispmath][dispmath]V=\frac{1}{3}BH_1+\frac{1}{3}BH_2[/dispmath][dispmath]V=\frac{1}{3}r^2\pi(H_1+H_2)[/dispmath] A [inlmath]H_1+H_2[/inlmath] je jednako dužini stranice [inlmath]a[/inlmath].

Hvalaa

@lisko99, zamoliću te da pročitaš Pravilnik foruma, budući da si prekršio čak tri tačke Pravilnika – tačku 6, tačku 9. i tačku 13.