MATEMANIJA

Ako je [inlmath]40:41[/inlmath] odnos visine i tezisne duzi koje odgovaraju hipotenuzi pravouglog trougla, onda je odnos kateta jednak cemu?
Resenje je [inlmath]4:5[/inlmath].
Pokusala sam preko slicnosti da resim zadatak ali izgleda da nisam dobre trouglove posmatrala...visinu sam oznacila sa [inlmath]CS[/inlmath] a tezisnu duz sa [inlmath]CD[/inlmath]. Posmatrala sam trougao [inlmath]ABC[/inlmath] i [inlmath]CSD[/inlmath] oba imaju prav ugao...
[dispmath]\frac{CD}{C}=\frac{x}{a}=\frac{h}{b}[/dispmath] i za [inlmath]b[/inlmath] sam dobila da je [inlmath]\frac{40}{41}\cdot c[/inlmath] i onda sam mislila i da katetu [inlmath]a[/inlmath] izrazim preko hipotenuze i kada trazim odnos te dve kateta skratice se hipotenuze... za [inlmath]a[/inlmath] preko Pitagorine teoreme dobijam [inlmath]a=\frac{9}{41}\cdot c[/inlmath] i za odnos [inlmath]a:b=9:40[/inlmath], gde sam pogresila? Kako da uradim zadatak?

hint: Dužina ove težišne duži je polovina dužine hipotenuze.
Zadatak je čisto računski.

I sta onda dobijamo tim? Da [inlmath]c[/inlmath] izrazimo preko kateta, a sta sa visinom?

Izrazite i visinu preko stranica.

[dispmath]\frac{t}{h}=\frac{41}{40}\\
h=\frac{ab}{c}\\
t=\frac{c}{2}\\
\frac{t}{h}=\frac{\frac{c}{2}}{\frac{ab}{c}}=\frac{c^2}{2ab}=\frac{a^2+b^2}{2ab}[/dispmath] Hoće neko da nastavi?

[dispmath]\frac{41}{40}=\frac{a^2+b^2}{2ab}=\frac{a}{2b}+\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\\
\frac{41}{20}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}[/dispmath] Uvodimo smenu [inlmath]t=\frac{a}{b}[/inlmath] i dobijamo kvadratnu jednačinu čija su rešenja [inlmath]\frac{4}{5}[/inlmath] i [inlmath]\frac{5}{4}[/inlmath]. Dosta posla. Može biti da ima i neki lakši način?

Smena mi nije pala na pamet, mislio sam da gresim, hvala!

Nađa je napisao:za [inlmath]a[/inlmath] preko Pitagorine teoreme dobijam [inlmath]a=\frac{9}{41}\cdot c[/inlmath] i za odnos [inlmath]a:b=9:40[/inlmath], gde sam pogresila? Kako da uradim zadatak?

Pa, pogrešila si u tome što si odnos [inlmath]\frac{CD}{c}[/inlmath] izjednačila sa [inlmath]\frac{x}{a}[/inlmath] odnosno sa [inlmath]\frac{h}{b}[/inlmath], zaista ne znam odakle ti to... Važilo bi [inlmath]\frac{CD}{c}=\frac{h}{b}[/inlmath] kada bi trouglovi [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle CDS[/inlmath] bili slični, što definitivno nije slučaj.
Nadam se da nisi samo na osnovu podatka

Nađa je napisao:Posmatrala sam trougao [inlmath]ABC[/inlmath] i [inlmath]CSD[/inlmath] oba imaju prav ugao...

zaključila da su ta dva trougla slična?

Corba248 je napisao:i dobijamo kvadratnu jednačinu čija su rešenja [inlmath]\frac{4}{5}[/inlmath] i [inlmath]\frac{5}{4}[/inlmath]. Dosta posla. Može biti da ima i neki lakši način?

Logično je da nam kvadratna jednačina ne gine, jer je isto tako logično da za odnos kateta moramo dobiti dva rešenja (međusobno recipročna), budući da smo mogli kraću katetu obeležiti sa [inlmath]a[/inlmath] a dužu sa [inlmath]b[/inlmath], kao i obratno. Za slučaj [inlmath]a<b[/inlmath] odgovaralo bi rešenje [inlmath]\frac{a}{b}=\frac{4}{5}[/inlmath], dok bi za slučaj [inlmath]a>b[/inlmath] odgovaralo rešenje [inlmath]\frac{a}{b}=\frac{5}{4}[/inlmath]. Do takvog para rešenja se ne može doći bez kvadratne jednačine.

Možda bi za nijansu jednostavniji postupak bio preko trige, mada ni u tom slučaju ne gine kvadratna. Obeležimo kraću katetu sa [inlmath]a[/inlmath] (time već znamo da ćemo jedno rešenje kvadratne jednačine odbaciti), a njoj naspramni ugao sa [inlmath]\alpha[/inlmath]. Uočimo da je [inlmath]\angle CDB=2\alpha[/inlmath]. Tada je
[dispmath]\sin2\alpha=\sin\angle CDS=\frac{CS}{CD}=\frac{40}{41}[/dispmath] Izrazimo sinus dvostrukog ugla preko tangensa,
[dispmath]\frac{2\text{tg }\alpha}{1+\text{tg}^2\alpha}=\frac{40}{41}[/dispmath] i rešimo kvadratnu po [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath] (koji upravo i predstavlja odnos kateta), uz već pomenuto odbacivanje rešenja koje bi odgovaralo slučaju [inlmath]a>b[/inlmath]...

Drugi problem koji me muci, je ovaj:
Ako je [inlmath]40:41[/inlmath] odnos visine i tezisne duzi koje odgovaraju hipotenuzi pravouglog trougla, onda je odnos kateta tog trougla jednak...


Iz odnosa kojeg sam dobio sam nasao [inlmath]c_1=9k[/inlmath], [inlmath]h_c=40k[/inlmath], [inlmath]t_c=41k[/inlmath]. Ummmm, dosta sam radio ovaj zadatak, bas sam razocaran sto ga nisam resio. Ne znam kako da napisem sta sam nasao zato sto je sve sto sam nasao cudno. Npr. preko odnosa trouglova [inlmath]CDA[/inlmath] i [inlmath]CEA[/inlmath], nisam ni siguran da su ovi trouglovi slicni, ali reko sto da ne... [inlmath]c_1:\left(\frac{c}{2}−c_1\right)=t_c:b[/inlmath] i onda je [inlmath]b=\frac{41c+738k}{18}[/inlmath], pokusao sam sa tim da idem dalje, ali nije islo...

Trouglovi [inlmath]CDA[/inlmath] i [inlmath]CEA[/inlmath] nikako ne mogu da budu slični (jedan od njih je pravougli, a drugi nije). Ono što treba da iskoristiš je činjenica da visina na hipotenuzu predstavlja geometrijsku sredinu odsečaka na hipotenuzi. Ako [inlmath]BD[/inlmath] obeležimo sa [inlmath]p[/inlmath], a [inlmath]DA[/inlmath] sa [inlmath]q[/inlmath] (samo zbog jednostavnosti), onda možemo da pišemo:
[dispmath]40k=\sqrt{pq}[/dispmath] Iskoristićemo i činjenicu da je [inlmath]BE=EA[/inlmath], odnosno:
[dispmath]p+9k=q-9k[/dispmath] Iz ove dve jednačine ne bi trebalo da je problem odrediti dužine kateta u zavisnosti od [inlmath]k[/inlmath].