MATEMANIJA

Pozdrav svima,
molila bih pomoć s ovim zadatkom: Konstruirajte unutar kvadrata [inlmath]ABCD[/inlmath] točku iz koje se stranica [inlmath]AB[/inlmath] vidi pod kutom od [inlmath]60^\circ[/inlmath], a [inlmath]BC[/inlmath] pod kutom od [inlmath]120^\circ[/inlmath]. Svaka pomoc je dobrodosla:)

Hvala

Pozdrav, zamoliću te da se upoznaš s Pravilnikom ovog foruma, budući da u svom postu nisi ispoštovala dve tačke koje smatramo najvažnijima – tačku 6. i tačku 13.

Za početak, obeleži traženu tačku recimo sa [inlmath]M[/inlmath]. Koliki je zbir uglova [inlmath]\angle AMB[/inlmath] i [inlmath]\angle BMC[/inlmath] i šta nam to govori?

Bok, izvinite, pročitala sam pravilnik, nadam se da će sada biti ok.

Mislim da zbroj uglova može biti [inlmath]180^\circ[/inlmath]ako se točka [inlmath]M[/inlmath] nalazi na dijagonali kvadrata [inlmath]AC[/inlmath] ili zbroj kutova može biti [inlmath]120^\circ[/inlmath] ako se točka [inlmath]M[/inlmath] ne nalazi na dijagonali.
Pokušala sam dobiti rješenje tako da uz stranicu [inlmath]AB[/inlmath] konstruiram kutove od [inlmath]30^\circ[/inlmath], onda sam dobila jednakokračni trokut [inlmath]ABS[/inlmath] čiji je kut pri vrhu [inlmath]S[/inlmath] [inlmath]\angle ASB=120^\circ[/inlmath]. Sa šestarom sam opisala kružnicu trokutu [inlmath]ASB[/inlmath] sa središtem u [inlmath]S[/inlmath], tako da je sad ugao [inlmath]\angle ASB=120^\circ[/inlmath] središnji kut nad tetivom [inlmath]AB[/inlmath], a sjecite [inlmath]M[/inlmath] dijagonale pravokutnika i kružnice je obodni kut [inlmath]\angle AMB=\frac{1}{2}\angle ASB=60^\circ[/inlmath] nad tetivom [inlmath]AB[/inlmath].
Kut nad stranicom [inlmath]BC[/inlmath] je [inlmath]\angle BMC=180^\circ-60^\circ=120^\circ[/inlmath].

Da li bi to moglo biti rješenje?

bounty je napisao:Bok, izvinite, pročitala sam pravilnik, nadam se da će sada biti ok.

Da, sad je sve kako treba.

bounty je napisao:ili zbroj kutova može biti [inlmath]120^\circ[/inlmath] ako se točka [inlmath]M[/inlmath] ne nalazi na dijagonali.

Bi li mogla ovaj deo malo da pojasniš?
Koliko iznosi zasebno jedan i drugi ugao, ako im je zbir [inlmath]120^\circ[/inlmath]?


Tvoje rešenje jeste u redu, ali može i jednostavnije. Pošto zaključimo da se tačka [inlmath]M[/inlmath] nalazi na dijagonali kvadrata, posmatramo trougao [inlmath]\triangle AMB[/inlmath] i njegove uglove. Ugao [inlmath]\angle BAM[/inlmath] je [inlmath]45^\circ[/inlmath], ugao [inlmath]\angle AMB[/inlmath] je [inlmath]60^\circ[/inlmath], odatle sledi da ugao [inlmath]\angle ABM[/inlmath] mora biti [inlmath]75^\circ[/inlmath]. Konstruišemo njegov krak, i u preseku tog kraka s dijagonalom kvadrata dobijemo tačku [inlmath]M[/inlmath].
(Naravno, ovo smo mogli uraditi i posmatrajući trougao [inlmath]\triangle BMC[/inlmath], potpuno svejedno – samo što bismo imali da je ugao [inlmath]\angle BMC[/inlmath] jednak [inlmath]120^\circ[/inlmath] a ugao [inlmath]\angle BCM[/inlmath] koji treba da konstruišemo iznosi [inlmath]15^\circ[/inlmath]).

bounty je napisao:Sa šestarom sam opisala kružnicu trokutu [inlmath]ASB[/inlmath] sa središtem u [inlmath]S[/inlmath]

Mislim da si htela reći da si opisala kružnicu sa centrom u [inlmath]S[/inlmath] i poluprečnikom jednakim krakovima trougla [inlmath]ABS[/inlmath]. Mislim da je tvoje rešenje tačno. Našao sam još jedno rešenje (mislim):

Kada se rade zadaci iz konstrukcije prvo se radi analiza (zatim ide opis konstrukcije, konstrukcija, dokaz i diskusija rešenja na kraju).

1) Analiza

Prilikom analize prvo pretpostavimo da je zadatak rešen. Dakle neka postoji tačka [inlmath]M[/inlmath] u kvadratu [inlmath]ABCD[/inlmath] koja ispunjava uslove zadatka. Kako je [inlmath]\angle AMB+\angle BMC=180^\circ[/inlmath], sledi da su tačke [inlmath]A,M,C[/inlmath] kolinearne, odakle sledi da [inlmath]M[/inlmath] pripada dijagonali [inlmath]AC[/inlmath].
Odatle sledi da je [inlmath]\angle MAB=\angle MCB=45^\circ[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]\angle MBA=75^\circ[/inlmath], [inlmath]\angle MBC=15^\circ[/inlmath] (Posmatraj trouglove [inlmath]ABM[/inlmath] i [inlmath]BCM[/inlmath]).
Odavde sledi da se tačka [inlmath]M[/inlmath] nalazi u preseku kraka [inlmath]MB[/inlmath], koji je zajednički za uglove [inlmath]\angle MBA[/inlmath] i [inlmath]\angle MBC[/inlmath], i dijagonale [inlmath]AC[/inlmath].

2) Opis konstrukcije

1. Konstruišimo duž određenu tačkama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] (dati kvadrat je proizvoljan). Tako dobijena duž je dijagonala [inlmath]AC[/inlmath].
2. Sada treba da konstruišemo jedan od uglova [inlmath]\angle MBA[/inlmath] ili [inlmath]\angle MBC[/inlmath] kako bismo dobili tačku [inlmath]M[/inlmath]. Konstruišimo [inlmath]\angle MBC[/inlmath].
Prvo treba konstruisati ugao od [inlmath]30^\circ[/inlmath] sa temenom (vrhom) u [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]BC[/inlmath] kao jednim krakom, pri čemu drugi krak ovog ugla treba da prolazi kroz dati kvadrat. Zatim konstruišemo simetralu ovog ugla od [inlmath]30^\circ[/inlmath] i presek dijagonale [inlmath]AC[/inlmath] i simetrale označimo sa [inlmath]M[/inlmath].
3. [inlmath]M[/inlmath] je tražena tačka!

@Daniel
Mislila sam da ako ako je nad stranicom [inlmath]AB[/inlmath] neki kut od [inlmath]60^\circ[/inlmath], onda bi se nad stranicom [inlmath]BC[/inlmath] mogao naći kut od [inlmath]60^\circ[/inlmath] koji bi zajedno s drugim kutom dao kut od [inlmath]120^\circ[/inlmath] nad [inlmath]BC[/inlmath].
Sad vidim da to nema smisla, krivo sam mislila. Puno hvala na odgovoru:)

Gogele je napisao:Mislim da si htela reći da si opisala kružnicu sa centrom u [inlmath]S[/inlmath] i poluprečnikom jednakim krakovima trougla [inlmath]ABS[/inlmath].

Da, hvala na ispravci.

Gogele je napisao:Odavde sledi da je [inlmath]\angle MBC=75^\circ[/inlmath], [inlmath]\angle MBC=15\circ[/inlmath] (Posmatraj trouglove [inlmath]ABM[/inlmath] i [inlmath]BCM[/inlmath]).
Odavde sledi da se tačka [inlmath]M[/inlmath] nalazi u preseku kraka [inlmath]MB[/inlmath], koji je zajednički za uglove [inlmath]\angle MBA[/inlmath] i [inlmath]\angle MBC[/inlmath], i dijagonale [inlmath]AC[/inlmath].

Da li si možda mislio [inlmath]\angle MBA=75^\circ[/inlmath]? Sve ostalo mislim da shvaćam. Hvala:)

bounty je napisao:Da li si možda mislio [inlmath]\angle MBA=75^\circ[/inlmath]? Sve ostalo mislim da shvaćam. Hvala:)

Da, treba [inlmath]\angle MBA=75^\circ[/inlmath].

^ Ispravio sam.

Ako neko želi da se zanima, da malo uopštimo zadatak:

Konstruirajte unutar kvadrata [inlmath]ABCD[/inlmath] točku iz koje se stranica [inlmath]AB[/inlmath] vidi pod datim kutom [inlmath]\alpha[/inlmath], a [inlmath]BC[/inlmath] pod datim kutom [inlmath]\beta[/inlmath].

Sada se više ne možemo oslanjati na to da tačka [inlmath]M[/inlmath] pripada dijagonali kvadrata, jer to u opštem slučaju ne važi. Može se iskoristiti jedna osobina u geometriji slična onoj koju je bounty pomenula u svom rešenju.
Rešenje za ovaj slučaj, pošto je univerzalno, može se primeniti (iako je nešto komplikovanije od već pokazanih) i na prvobitnu verziju zadatka.

Da li se i u općem zadatku može primijeniti poučak o središnjem i obodnom kutu? Ili si mislio nešto slično tome?

Nešto slično. U rešenju koje sam ja zamislio ne posmatra se središnji kut /centralni ugao, već samo obodni/periferni.
Bojim se da sam već i previše rekao.