MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 28. jun 2017.
4. zadatak

Ovaj zadatak mi deluje bas lak, ali nikako ne mogu da ga resim...

U pravougaoniku [inlmath]ABCD[/inlmath] je [inlmath]AB=3[/inlmath] i [inlmath]BC=1[/inlmath]. Ako je [inlmath]M[/inlmath] tačka stranice [inlmath]AD[/inlmath], a [inlmath]N[/inlmath] tačka stranice [inlmath]AB[/inlmath] tako da je [inlmath]AN=2AM[/inlmath], onda je maksimalna moguća vrednost površine četvorougla [inlmath]MNCD[/inlmath] jednaka?
Resenje je [inlmath]\frac{7}{4}[/inlmath]

Imaš obe stranice pravougaonika izračunaš površinu, znači [inlmath]3[/inlmath].
Sad pošto se radi o pravougaoniku, ima po dve jednake stranice, tako da [inlmath]BC=AD[/inlmath] i [inlmath]AB=CD[/inlmath], tačka [inlmath]M[/inlmath] se nalazi na stranici [inlmath]AD[/inlmath], a dužina stranice [inlmath]AD=BC=1[/inlmath] tako da dužina duži [inlmath]AM[/inlmath] se nalazi između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. (nula jer možda se nalazi na tački [inlmath]A[/inlmath]). Površinu traženog četvorougla dobićeš tako što ćeš od površine pravougaonika oduzeti površine dva trougla (u ovom slučaju su u pitanju trouglovi [inlmath]AMN[/inlmath] i [inlmath]NCD[/inlmath]). Sad, da zbog dosta slova ne bi došlo do zbunjivanja, neka je [inlmath]AM=x[/inlmath], onda je po uslovu zadatka [inlmath]AN=2x[/inlmath]. Tako da stranice trougla [inlmath]AMN[/inlmath] su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]2x[/inlmath], pa je njegova površina jednaka [inlmath]P=\frac{1}{2}\cdot x\cdot2x[/inlmath].
Što se tiče drugog trougla već znamo jednu stranicu, pošto je to i stranica pravougaonika [inlmath]BC=1[/inlmath], druga stranica [inlmath]MB[/inlmath] je razlika dužine stranice [inlmath]AB[/inlmath] i duži [inlmath]AN[/inlmath]. To jest [inlmath]MB=AB-AN=\enclose{box}{3-2x}[/inlmath]. Površina trougla [inlmath]NCD[/inlmath] je [inlmath]P=\frac{1}{2}\cdot(3-2x)\cdot1[/inlmath].
Površina četvorougla:
[dispmath]P(x)=3-\frac{1}{2}\cdot x\cdot2x-\frac{1}{2}\cdot(3-2x)\cdot1\\
P(x)=-x^2+x+\frac{3}{2}[/dispmath] Ova kvadratna funkcija pošto se nalazi u skupu [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath] (jer se vrednost [inlmath]AM[/inlmath] odnosno [inlmath]x[/inlmath] nalazi između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], ne može da bude veća od [inlmath]1[/inlmath] jer bi se ona tačka [inlmath]M[/inlmath] nalazila van stranice [inlmath]AD[/inlmath]) dostiže maksimum za [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath], odnosno [inlmath]P\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{4}[/inlmath]. Do rešenja se može lako doći tako što se nađe prvi izvod funkcije i izjednači sa nulom, i onda kada se nađe vrednost za [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]x[/inlmath] vrati u početnu funkciju i odredi koji je njen maksimum...
Mislim da bi zadatak trebalo da se premesti u oblast izvoda funkcije

Jao da, radila sam sve isto, ali nisam primenila izvode. Razumela sam. Hvala

Nađa je napisao:Površinu traženog četvorougla dobićeš tako što ćeš od površine pravougaonika oduzeti površine dva trougla (u ovom slučaju su u pitanju trouglovi [inlmath]AMN[/inlmath] i [inlmath]\color{red}NCD[/inlmath]).

Nađa je napisao:Površina trougla [inlmath]\color{red}NCD[/inlmath] je [inlmath]P=\frac{1}{2}\cdot (3-2x)\cdot 1[/inlmath].

Na oba mesta umesto [inlmath]NCD[/inlmath] treba da stoji [inlmath]NCB[/inlmath].

Nađa je napisao:druga stranica [inlmath]\color{red}MB[/inlmath] je razlika dužine stranice [inlmath]AB[/inlmath] i duži [inlmath]AN[/inlmath].To jest [inlmath]{\color{red}MB}=AB-AN=\enclose{box}{3-2x}[/inlmath].

Na oba mesta umesto [inlmath]MB[/inlmath] treba da stoji [inlmath]NB[/inlmath].

Nađa je napisao:[dispmath]P(x)=-x^2+x+\frac{3}{2}[/dispmath]...
Do rešenja se može lako doći tako što se nađe prvi izvod funkcije i izjednači sa nulom, i onda kada se nađe vrednost za [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]x[/inlmath] vrati u početnu funkciju i odredi koji je njen maksimum...

Može i bez traženja izvoda, tako što se primeni formula za [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena kvadratne funkcije, [inlmath]\displaystyle y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}[/inlmath], koja u ovom slučaju upravo predstavlja maksimalnu površinu četvorougla [inlmath]MNCD[/inlmath].

---

Takođe, tražena površina četvorougla se može posmatrati i kao zbir površina trapeza [inlmath]DENM[/inlmath] i trougla [inlmath]NEC[/inlmath], gde je [inlmath]E[/inlmath] tačka na stranici [inlmath]CD[/inlmath] takva da je [inlmath]AN=DE[/inlmath]. Nije zgoreg pokušati i na taj način (u principu nije ni lakši ni teži od prethodno pokazanog načina).

---

Mila Maric je napisao:Ovaj zadatak mi deluje bas lak, ali nikako ne mogu da ga resim...

Ovime nije ispoštovana tačka 6. Pravilnika
Takođe, korigovao sam ti post tako da bude u skladu s tačkom 13. Pravilnika.
Molim te da ubuduće obratiš pažnju na ove dve (ali i na sve ostale) tačke Pravilnika.

Jeste, izvinjavam se na grešci