MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 28. jun 2017.
9. zadatak

Neka je [inlmath]ABCD[/inlmath] trapez čije su osnovice [inlmath]AB=30[/inlmath] i [inlmath]CD=20[/inlmath]. Na kraku [inlmath]BC[/inlmath] izabrana je tačka [inlmath]E[/inlmath] takva da je [inlmath]BE:EC=2:1[/inlmath]. Ako je površina datog trapeza jednaka [inlmath]P[/inlmath], tada je površina trougla [inlmath]AED[/inlmath] jednaka?
Resenje je: [inlmath]\frac{7}{15}P[/inlmath]

Mislila sam da od povrsine trapeza oduzmem povrsine trouglova [inlmath]ABE[/inlmath] i [inlmath]CDE[/inlmath]. Povukla sam visinu trapeza kroz teme [inlmath]E[/inlmath], pa sam izracunala da je [inlmath]P_{ABE}=15h_1[/inlmath] a [inlmath]P_{CDE}=10h_2[/inlmath], s tim da je [inlmath]h_1+h_2=h[/inlmath]. Povrsina trapeza je [inlmath]25h[/inlmath], pa na kraju dobijem da je [inlmath]P_{AED}=10h_1+15h_2[/inlmath]. Ne znam kako dalje, ali mislim da to nije nacin na koji se resava ovaj zadatak, zato sto uopste nisam korislila podatak da je [inlmath]BE:EC=2:1[/inlmath].

[dispmath]P_{AED}=P-\left(10h_1+15h_2\right)[/dispmath] Samo ovo koriguj, mada si ovaj izraz tačno opisala rečima na početku rešenja.
Pokušaj da utvrdiš u kom odnosu stoje ove dve visine upotrebom podatka koji nisi iskoristila.

To sam vec uradila, posto je [inlmath]P_{ABE}=15h_1[/inlmath] a [inlmath]P_{CDE}=10h_2[/inlmath], [inlmath]P_{AED}=25h-(15h_1+10h_2)=25(h_1+h_2)-(15h_1+10h_2)=10h_1+15h_2[/inlmath], a kod odnosa imam dva pravougla trougla, s tim da je hipotenuza jednog 2 puta veca od drugog, pa sam stavila da je [inlmath]2:1=h_1:h_2[/inlmath] (nisam bas sigurna da li je to tacno), onda dobijem da je [inlmath]P_{ADE}=35h_2[/inlmath], znam da je [inlmath]h=3h_2[/inlmath], nakon cega dobijem da je [inlmath]P_{ADE}=\frac{35}{3}h[/inlmath], i da bih sve izrazila preko [inlmath]P[/inlmath], stavim da je [inlmath]h=\frac{P}{25}[/inlmath], i dobijem resenje [inlmath]P_{ADE}=\frac{7}{15}P[/inlmath], sto je tacno. Ali nisam bas sigurna, jer sam pretpostavila da je [inlmath]h_1:h_2=2:1[/inlmath].

Da bi bila sigurna pokušaj da dokažeš da su ta dva trougla slična.

Okej, pokusacu.

A nakon što to učiniš, biće ti lakše da [inlmath]h_1[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\frac{2}{3}h[/inlmath] i da [inlmath]h_2[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\frac{1}{3}h[/inlmath], zatim [inlmath]h[/inlmath] izraziš kao [inlmath]\frac{P}{25}[/inlmath], i onda to uvrstiš u [inlmath]P_{AED}=P-(15h_1+10h_2)[/inlmath]...

Neka je [inlmath]ABCD[/inlmath] trapez čije su osnovice [inlmath]AB=30[/inlmath] i [inlmath]CD=20[/inlmath]. Na kraku [inlmath]BC[/inlmath] izabrana je tačka [inlmath]E[/inlmath] takva da je [inlmath]BE:EC=2:1[/inlmath]. Ako je površina datog trapeza jednaka [inlmath]P[/inlmath], tada je površina trougla [inlmath]AED[/inlmath] jednaka:
Rešenje je: [inlmath]\frac{7}{15}P[/inlmath]

Za ovaj zadatak postoji detaljnije rešenje, ali ne uspevam da ga razumem. Evo slike:


U rešenju kažu [inlmath]x+y=h[/inlmath], to mi je jasno, ali onda dolaze do zaključka da je [inlmath]x=2y[/inlmath]. Zašto se odnos stranica odnosi i na visine? Onda od te dve jednačine izraze [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] preko [inlmath]h[/inlmath].
[dispmath]y=\frac{1}{3}h\;\land\;x=\frac{2}{3}h[/dispmath] i dobije se da je površina jednaka [inlmath]P-(15x-10y)=\cdots[/inlmath]

Zašto?
Hvala unapred svima

Povuci pravu paralelnu sa osnovicama trapeza i koja prolazi kroz tačku [inlmath]E[/inlmath] i tačku preseka sa visinom obeleži sa [inlmath]F[/inlmath]. Sad mozes posmatrati sličnost trouglova [inlmath]CFE[/inlmath] i [inlmath]CHB[/inlmath] ([inlmath]H[/inlmath] - podnožje visine). Nadam se da dalje mozes sam...

Možda ti je još lakše da posmatraš visinu trapeza koja prolazi kroz tačku [inlmath]E[/inlmath]. Obeleži presek ove visine sa osnovicom [inlmath]AB[/inlmath] sa [inlmath]F[/inlmath], a presek sa pravom kojoj pripada osnovica [inlmath]CD[/inlmath] obeleži sa [inlmath]G[/inlmath]. Sad posmatraj trouglove [inlmath]EFB[/inlmath] i [inlmath]CGE[/inlmath]. Mislim da je očigledno da su slični. Dalje ne bi trebalo da bude problema.

Taj zadatak smo već imali u ovoj temi.

Za zadatke s prijemnih koji su na forumu urađeni postoje odgovarajući linkovi na stranici s prijemnima, kako se ti zadaci ne bi na forumu nepotrebno duplirali.
Naravno da je dozvoljeno (štaviše, i poželjno) postaviti neko dodatno pitanje u vezi sa zadatkom koji je već urađen, ali to onda treba učiniti u već postojećoj temi.