MATEMANIJA

Oko polulopte poluprecnika [inlmath]r[/inlmath] opisana je prava kupa minimalne zapremine cija je osnova u ravni osnove polulopte. Zapremina te kupe je?

Označimo sa [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik osnove kupe, a sa [inlmath]H[/inlmath] visinu kupe. Zapremina kupe je jednaka[dispmath]V=\frac{1}{3}B\cdot H=\frac{1}{3}\pi R^2H\quad\left(1\right)[/dispmath]


Sa slike vidimo da je[dispmath]r:R=\sqrt{H^2-r^2}:H[/dispmath][dispmath]H^2r^2=R^2H^2-R^2r^2[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]R^2=\frac{H^2r^2}{H^2-r^2}[/dispmath]i, kad to uvrstimo u formulu za zapreminu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath],[dispmath]V=\frac{1}{3}\pi\frac{H^2r^2}{H^2-r^2}H[/dispmath][dispmath]V=\frac{1}{3}\pi r^2\frac{H^3}{H^2-r^2}\quad\left(2\right)[/dispmath]Poluprečnik osnove polulopte je zadat, tako da njega posmatramo kao konstantu. U ovom izrazu zapremina kupe je izražena u funkciji njene visine. Da bismo našli visinu kupe za koju će njena zapremina biti minimalna, potrebno je da nađemo izvod zapremine po [inlmath]H[/inlmath] i da ga izjednačimo s nulom:[dispmath]V'_H=\frac{1}{3}\pi r^2\left(\frac{H^3}{H^2-r^2}\right)'[/dispmath][dispmath]V'_H=\frac{1}{3}\pi r^2\frac{3H^2\left(H^2-r^2\right)-H^3\cdot 2H}{\left(H^2-r^2\right)^2}[/dispmath][dispmath]V'_H=\frac{1}{3}\pi r^2\frac{H^4-3r^2H^2}{\left(H^2-r^2\right)^2}=0[/dispmath][dispmath]H^4-3r^2H^2=0\quad / :H^2[/dispmath][dispmath]H^2=3r^2[/dispmath][dispmath]H=r\sqrt 3[/dispmath]To je visina kupe pri kojoj će kupa imati minimalnu zapreminu. Da bismo odredili tu minimalnu zapreminu, uvrstimo dobijenu vrednost za [inlmath]H[/inlmath] u formulu [inlmath]\left(2\right)[/inlmath]:[dispmath]V=\frac{1}{3}\pi r^2\frac{H^3}{H^2-r^2}[/dispmath][dispmath]V=\frac{1}{3}\pi r^2\frac{\left(r\sqrt 3\right)^3}{\left(r\sqrt 3\right)^2-r^2}[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{V=\frac{\sqrt 3}{2}\pi r^3}[/dispmath]

Jao Boze, kako ja gresim na glupostima, hvala ti