MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 27. jun 2009.
9. zadatak

Dijagonale jednakokrakog trapeza su uzajamno normalne. Ako su dužine osnovica tog trapeza jednake [inlmath]4\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]2\text{ cm}[/inlmath], površina trapeza je:
[inlmath]A)\;7.5\mbox{ cm}^2;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{B)}\;9\mbox{ cm}^2;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;4.5\mbox{ cm}^2;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;6\mbox{ cm}^2;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;12\mbox{ cm}^2;\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\mbox{Ne znam}.[/inlmath]

pretpostavljam da je lagan ali jos nisam presao oblast pa mi treba pomoc..

Prvo, naravno, nacrtamo sliku:


Posmatramo trougao [inlmath]\triangle ABO[/inlmath]. Iz njega vidimo da je
[dispmath]\angle BAO+\angle ABO=180^\circ-\angle AOB[/dispmath] Pošto se dijagonale [inlmath]\overline{AC}[/inlmath] i [inlmath]\overline{BD}[/inlmath] seku pod pravim uglom, tada je [inlmath]\angle AOB=90^\circ[/inlmath], pa je
[dispmath]\angle BAO+\angle ABO=180^\circ-90^\circ=90^\circ[/dispmath] A pošto je [inlmath]\angle BAO=\angle ABO[/inlmath], tada je
[dispmath]\angle BAO=\angle ABO=45^\circ[/dispmath] Zbir duži [inlmath]\overline{AD'}[/inlmath] i [inlmath]\overline{BC'}[/inlmath] jednak je razlici duži [inlmath]\overline{AB}[/inlmath] i duži [inlmath]\overline{C'D'}[/inlmath], a pošto je [inlmath]\overline{C'D'}=\overline{CD}[/inlmath], onda je i [inlmath]\overline{AD'}+\overline{BC'}=\overline{AB}-\overline{CD}[/inlmath]. Pošto je [inlmath]\overline{AD'}=\overline{BC'}[/inlmath], tada je
[dispmath]\overline{AD'}=\overline{BC'}=\frac{\overline{AB}-\overline{CD}}{2}=1\text{ cm}[/dispmath] Sada posmatramo trougao [inlmath]\triangle ACC'[/inlmath]. Pošto on ima jedan prav ugao i jedan ugao od [inlmath]45^\circ[/inlmath], u pitanju je pravougli jednakokraki trougao, koji možemo posmatrati i kao polovinu kvadrata. Odatle vidimo i da je njegova stranica [inlmath]\overline{CC'}[/inlmath] (koja predstavlja i visinu trapeza) jednaka njegovoj stranici [inlmath]\overline{AC'}[/inlmath]. Pošto je [inlmath]\overline{AC'}=\overline{AB}-\overline{BC'}=3\text{ cm}[/inlmath], visina trapeza će takođe biti jednaka [inlmath]h=3\text{ cm}[/inlmath].

Imamo sve što nam je potrebno za izračunavanje površine trapeza: donju osnovicu, gornju osnovicu, visinu:
[dispmath]P=\frac{a+b}{2}\cdot h[/dispmath][dispmath]P=3\cdot3[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{P=9\text{ cm}^2}[/dispmath]

Ja bih dodao samo sledece:

Kada smo utvrdili da je [inlmath]\angle BAO=45^\circ[/inlmath]
mozemo uociti pravougli trougao [inlmath]BDD'[/inlmath]
pa mozemo primeniti sledece:
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{\text{naspramna kateta (visina trapeza)}}{\text{nalegla kateta}}[/dispmath][dispmath]\text{tg }45^\circ=\frac{h}{3}[/dispmath][dispmath]1=\frac{h}{3}[/dispmath][dispmath]h=3[/dispmath]

Pa dobro, da l' ćeš raditi preko trougla [inlmath]\triangle ACC'[/inlmath] ili preko trougla [inlmath]\triangle BDD'[/inlmath], isti đavo, jer je trapez jednakokraki, pa su samim tim i ta dva trougla podudarna.

Ljudi, stvarno hvala puno, na brzim i tacnim odgovorima!

Dijagonale jednakokrakog trapeza su uzajamno normalne. Ako su duzine osnovica tog trapeza jednake [inlmath]4\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]2\text{ cm}[/inlmath], povrsina trapeza je:
Ovako glasi zadatak, mene ne zanima brojcana vrednost vec princip rada, ovde je potrebno da se izracuna [inlmath]h[/inlmath], ali kako ?

Ako sam te dobro razumeo:

• Obeleži deo dijagonale npr sa [inlmath]x[/inlmath] i deo druge dijagonale sa [inlmath]x[/inlmath].
  Iz Pitagorine teoreme sledi:
  [dispmath]x^2+x^2=2^2[/dispmath]
• Potom obeleži druge delove npr sa [inlmath]y[/inlmath]. Dobićemo:
  [dispmath]y^2+y^2=4^2[/dispmath]

Da li je to - to?

Hvala
[dispmath]a=4\text{ cm}\\
b=2\text{ cm}\\
P=?\\
x^2+x^2=2^2\\
2x^2=4\\
x=\sqrt2\\
y^2+y^2=4^2\\
2y^2=16\\
y=2\sqrt2\\
c^2=\left(\sqrt2\right)^2+\left(2\sqrt2\right)^2\\
c^2=2+8\\
c=\sqrt{10}\\
h^2=c^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)\\
h^2=10-1\\
h=3\text{ cm}\\
P=\frac{a+b}{2}\cdot h\\
P=3\cdot3\\
P=9\text{ cm}^2[/dispmath]

Mislim da nema potrebe za ovakvom postupnošću. Čim uočiš trougao sa stranicama [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], odmah konstatuješ da je taj trougao pravougli i jednakokraki, tj. da predstavlja polovinu kvadrata. Prema tome, njegova visina na hipotenuzu [inlmath]b[/inlmath] biće jednaka [inlmath]\frac{b}{2}[/inlmath].
Ista priča i za donji trougao, sa stranicama [inlmath]y[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]a[/inlmath]. Njegova visina na hipotenuzu [inlmath]a[/inlmath] biće [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath].
Visina trapeza biće zbir visina ta dva trougla, tj. [inlmath]\frac{a}{2}+\frac{b}{2}[/inlmath].
Nema potrebe za računanjem kraka [inlmath]c[/inlmath].

---

A ako bi zadatak radio na način koji jutros pokazah u ovom postu, tj. nadovezivanjem gornje na donju osnovicu (što bih ti takođe strongly preporučio), zadatak bi se sveo na računanje površine polovine kvadrata čija je dijagonala [inlmath]4+2[/inlmath]...

Postupnost mi presla u naviku
nekako uvek imam osecaj da nece biti jasno nekome ako skratim postupak
Da video sam postupak iz navedene teme, ali nekako ga nisam razradio (nisam pokusao na taj nacin ali sad cu probati pa cu ti javiti na PM )
A za

Daniel je napisao:Mislim da nema potrebe za ovakvom postupnošću. Čim uočiš trougao sa stranicama [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], odmah konstatuješ da je taj trougao pravougli i jednakokraki, tj. da predstavlja polovinu kvadrata. Prema tome, njegova visina na hipotenuzu [inlmath]b[/inlmath] biće jednaka [inlmath]\frac{b}{2}[/inlmath].
Ista priča i za donji trougao, sa stranicama [inlmath]y[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]a[/inlmath]. Njegova visina na hipotenuzu [inlmath]a[/inlmath] biće [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath].
Visina trapeza biće zbir visina ta dva trougla, tj. [inlmath]\frac{a}{2}+\frac{b}{2}[/inlmath].
Nema potrebe za računanjem kraka [inlmath]c[/inlmath].

Jako mi se dopada ovaj nacin , hvala