MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 27. jun 2009.
16. zadatak

Visina prave kupe maksimalne zapremine koja je upisana u loptu poluprečnika [inlmath]3\text{ cm}[/inlmath] je:
[inlmath]A)\;5\text{ cm};\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{B)}\;4\text{ cm};\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\left(3+\sqrt2\right)\text{ cm};\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\left(3+\sqrt3\right)\text{ cm};\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\left(3+\sqrt5\right)\text{ cm};\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam}.[/inlmath]

Postupak zadatka bio bi mi dovoljan.

Zapremina kupe je, kao što je poznato,[dispmath]V=\frac{1}{3}B\cdot H=\frac{1}{3}\pi r^2H\tag1[/dispmath] Radi nalaženja maksimalne zapremine kupe upisane u loptu, potrebno je [inlmath]r[/inlmath] izraziti preko [inlmath]H[/inlmath], ili [inlmath]H[/inlmath] izraziti preko [inlmath]r[/inlmath], pa to uvrstiti u formulu za zapreminu, tako da dobijemo zapreminu u funkciji od [inlmath]H[/inlmath], ili u funkciji od [inlmath]r[/inlmath], pa zatim nađemo prvi izvod i izjednačimo ga s nulom, jer je to uslov da zapremina bude maksimalna.


Oznake na slici su sledeće:
[inlmath]R[/inlmath] – poluprečnik lopte, [inlmath]R=3\text{ cm}[/inlmath];
[inlmath]r[/inlmath] – poluprečnik osnove kupe;
[inlmath]H[/inlmath] – visina kupe.

Primenom Pitagorine teoreme dobijamo:
[dispmath]R^2=r^2+(H-R)^2[/dispmath][dispmath]r^2=R^2-(H-R)^2[/dispmath][dispmath]r^2=\cancel{R^2}-H^2+2RH-\cancel{R^2}[/dispmath][dispmath]r^2=2RH-H^2[/dispmath] Zatim to uvrstimo u formulu za zapreminu, [inlmath](1)[/inlmath]:
[dispmath]V=\frac{1}{3}\pi\left(2RH-H^2\right)H[/dispmath][dispmath]V=\frac{\pi}{3}\left(2RH^2-H^3\right)[/dispmath] i od toga tražimo prvi izvod po [inlmath]H[/inlmath], pri čemu poluprečnik lopte [inlmath]R[/inlmath] posmatramo kao konstantu, jer nam je on poznat:
[dispmath]V'_H=\frac{\pi}{3}\left(2RH^2-H^3\right)'[/dispmath][dispmath]V'_H=\frac{\pi}{3}\left(4RH-3H^2\right)=0[/dispmath][dispmath]\left.4RH-3H^2=0\quad\right/:H[/dispmath][dispmath]4R-3H=0[/dispmath][dispmath]H=\frac{4}{3}R[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{H=4\text{ cm}}[/dispmath] Možeš pogledati i ovaj zadatak, vrlo je sličan tvom, samo što je situacija obrnuta – u njemu je kupa opisana oko lopte i posmatra se slučaj kada joj je zapremina minimalna. Ali, princip rešavanja je isti...

Hvala