MATEMANIJA

Pozdrav, radio sam ovaj zadatak sa roka MATF 2007, u pitanju je 16. zadatak i glasi:

Najveća moguća zapremina prave kupe čija izvodnica ima dužinu [inlmath]s[/inlmath] je:

[inlmath]\displaystyle\enclose{circle}{A)}\;\frac{2\pi s^3\sqrt3}{27}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle B)\;\frac{4\pi s^3\sqrt3}{27}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle C)\;\frac{\pi s^3\sqrt3}{9}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle D)\;\frac{\pi s^3\sqrt3}{27}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;\frac{2\pi s^3\sqrt2}{27}[/inlmath]

Sada, ja sam razmišljao da je efikasnije pošto sam nacrtao kupu, i pošto je zapremina kupe [inlmath]\displaystyle\frac{BH}{3}[/inlmath], da poluprečnik kupe [inlmath]R[/inlmath] i visinu [inlmath]H[/inlmath] izrazim preko trigonometrijskih funkcija. Recimo da je ugao [inlmath]\alpha[/inlmath] ugao između visine i izvodnice kupe, iz čega bi proizvelo da je [inlmath]R=s\sin\alpha[/inlmath], a [inlmath]H=s\cos\alpha[/inlmath].

Zatim sam to zamenio u formuli za zapreminu, pronašao prvi izvod (zapremina je maksimalna), i dobio:
[inlmath]\displaystyle V=\frac{s^3\pi}{3}\left(\sin^2\alpha\cos\alpha\right)[/inlmath]. Iz ovoga sam dalje izrazio [inlmath]f'(\alpha)=\sin\alpha\left(3\cos^2\alpha-1\right)[/inlmath] iz čega nakon jednačenja prvog izvoda sa nulom dobijam da je [inlmath]\displaystyle\alpha=\arccos\frac{1}{\sqrt3}[/inlmath].

Sada ovde nemam nikakvu ideju kako da dovršim zadatak, tako da bi bilo fino ako bi neko mogao da me usmeri ili mi predloži neki drugi, možda čak lakši način za rešavanje ovoga. Usput se izvinjavam ako je malo nejasno kako sam došao do ovih vrednosti, previše vremena bi mi trebalo da ih ukucam sve u Latex-u, ako bude bilo potrebe ispisaću ih detaljnije.

Analiziranjem prvog izvoda si dobro našao da je maksimum za [inlmath]\displaystyle\cos^2\alpha=\frac{1}{3}[/inlmath], odakle je [inlmath]\displaystyle\sin^2\alpha=\frac{2}{3}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath], ovde biramo pozitivno rešenje. Onda dobijaš [inlmath]\displaystyle V=\frac{s^3\pi}{3}\sin^2\alpha\cos\alpha=\frac{2s^3\pi\sqrt3}{27}[/inlmath]. Dakle, nema potrebe računati vrednost samog ugla.

Iskreno ne znam kako nisam i sam uvideo da jednostavno mogu da zamenim vrednosti za [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] i [inlmath]\sin\alpha[/inlmath].
Hvala na pomoći.

EDIT: Izvini, ali imam još jedno pitanje; da li bih ovaj zadatak nekako mogao da rešim zamenom [inlmath]R^2=s^2-H^2[/inlmath] u formulu za zapreminu kupe? Ili je to nemoguće?

Tinker je napisao:Izvini, ali imam još jedno pitanje; da li bih ovaj zadatak nekako mogao da rešim zamenom [inlmath]R^2=s^2-H^2[/inlmath] u formulu za zapreminu kupe? Ili je to nemoguće?

Može. Samo u formulu za zapreminu umesto [inlmath]R^2[/inlmath] zamenimo [inlmath]s^2-H^2[/inlmath]. Dakle imamo:
[dispmath]V=\frac{1}{3}R^2\pi H=\frac{1}{3}\pi\left(s^2-H^2\right)H[/dispmath] Diferenciranjem po [inlmath]H[/inlmath] i izjednačavanjem sa nulom dobijaš uslov [inlmath]\displaystyle H^2=\frac{s^2}{3}[/inlmath] što, opet, dovodi do istog rezultata.