MATEMANIJA

Ako dve uzajamno normalne izvodnice prave kupe dele omotač na dva dela čiji je odnos [inlmath]1:2[/inlmath], odnos poluprečnika osnove i visine te kupe je? Zapremina kupe je?
Nije mi jasno kako misle da su izvodnice pod pravim uglom? Takođe, pokušala sam više puta da dođem do rešenja, ali bezuspešno... Doduše, rešenje mi je vrlo približno ispravnom, razlika je npr u tome što ja dobijam [inlmath]\sqrt2[/inlmath], umesto [inlmath]\sqrt3[/inlmath], ali svejedno nisam sigurna u ispravnost svoje postavke i tumačenja zadatka. Molim vas za pomoć

Nastasjaa je napisao:Nije mi jasno kako misle da su izvodnice pod pravim uglom?

To znači da u prostoru formiraju prav ugao, što je moguće ukoliko je ugao pri vrhu kupe prav ili tup.

Što se ostalog tiče, izvoli napiši taj postupak kojim si došla do „vrlo približnog“ rešenja, pa ćemo ti reći ima li greške i, ako ima, gde je greška.

Nastasjaa je napisao:Zapremina kupe je?

Zbog čega zadatku dodaješ deo kojeg nema u originalnom tekstu (16. zadatak), a koji iz raspoloživih podataka nije ni moguće rešiti?

Takođe,

Nastasjaa je napisao:Ako dve uzajamno normalne izvodnice prave kupe dele omotač na dva dela čiji je odnos [inlmath]1:2[/inlmath],

umesto crveno obeleženog dela treba da piše čije se površine odnose kao [inlmath]1:2[/inlmath]. To je bitna razlika.


Imaš još jednu opomenu zbog tačke 13, kao i zbog tačaka 9. i 11. Pravilnika. Blizu si isključenja s foruma.

Ako dve uzajamno normalne izvodnice prave kupe dele omotac na dva dela cije se povrsine odnose kao [inlmath]1:2[/inlmath], koliki je odnos poluprecnika osnove i visine kupe?

Resenje [inlmath]\sqrt2[/inlmath]

Zamrsio sam se mnogo, prvo sam crtao kupu, spustao izvodnice i pravio neke trouglove u kojima sve mogu da izrazim preko izvodnice ([inlmath]s[/inlmath]) i onda da to povezem sa [inlmath]H[/inlmath] i sa [inlmath]r[/inlmath], ali nije islo. Onda sam pokusao da iskoristim ove povrsine i razvukao omotac kupe da dobijem kruzni isecak, ali me buni sto mogu da imam 2 slucaja (kada je centralni ugao [inlmath]135^\circ[/inlmath] i kada je [inlmath]270^\circ[/inlmath]) ...

Budući da smo nedavno već imali temu s ovim zadatkom, spojio sam ove dve teme.

diopo je napisao:ali me buni sto mogu da imam 2 slucaja (kada je centralni ugao [inlmath]135^\circ[/inlmath] i kada je [inlmath]270^\circ[/inlmath]) ...

Možeš li da pojasniš ovaj deo, nisam ga razumeo?

Pa kad se razvije omotac kupe i napravi se ugao [inlmath]90^\circ[/inlmath] dobijamo 2 povrsine koje mogu da se odnose [inlmath]1:2[/inlmath] samo ukoliko je centralni ugao isecka [inlmath]135^\circ[/inlmath] ili [inlmath]270^\circ[/inlmath] ( valjda? :/). Bilo kako bilo, ovo je i nebitno koliko ja razumem, resio sam zadatak ali nisam mogao da postujem jer je prebacena tema, pa evo prekopiracu ispod sta sam napisao.

Hmmm, mislim da sam uradio zadatak ali nisam siguran. Evo dacu postupak pa proverite.

Ako nacrtamo kupu i te dve izvodnice, s obzirom da je ugao izmedju njih [inlmath]90[/inlmath] stepeni, to znaci da je duzina tetive [inlmath]AB[/inlmath] koja se dobija kad spojimo dodirne tacke izvodnica i kruznice [inlmath]s\sqrt2[/inlmath]. Dalje, nadjemo visinu [inlmath]h[/inlmath] koja je visina trougla [inlmath]ABO[/inlmath] (gde je [inlmath]O[/inlmath] vrh kupe). Moze preko pitagorine teoreme, a moze takodje da se uoci jednakokraki trougao, gde je ta visina [inlmath]h[/inlmath] jednaka polovini tetive [inlmath]AB[/inlmath], dakle, [inlmath]\frac{s\sqrt2}{2}[/inlmath]. E sad dolazi onaj podatak da se povrsine ta 2 dela omotaca odnose kao [inlmath]1:2[/inlmath], sto dalje znaci da se 2 luka osnove koji nastaju isto odnose kao [inlmath]1:2[/inlmath], sto dalje znaci da je [inlmath]\angle AO'B=120^\circ[/inlmath] (gde je [inlmath]O'[/inlmath] mesto gde visina kupe dodiruje bazu kupe). [inlmath]AO'[/inlmath] i [inlmath]BO'[/inlmath] su ustvari poluprecniici osnove [inlmath]r[/inlmath], sto dalje znaci da je [inlmath]\triangle ABO'[/inlmath] jednakokraki, te su uglovi [inlmath]\angle O'AB[/inlmath] i [inlmath]\angle O'BA[/inlmath] jednaki i iznose [inlmath]30^\circ[/inlmath]. Sada uocimo visinu trougla [inlmath]\triangle ABO'[/inlmath] (krsticemo je [inlmath]x[/inlmath] ) koja ustvari ovaj trougao deli na dva karakteristicna trougla i ustvari predstavlja polovinu poluprecnika [inlmath]r[/inlmath] i iznosi [inlmath]\frac{s\sqrt6}{6}[/inlmath]. Ovo nam je potrebno da nadjemo visinu kupe [inlmath]H[/inlmath] preko pitagorine teoreme, jer mozemo da uocimo pravougli trougao sa katetama [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]x[/inlmath] i hipotenuzom [inlmath]h[/inlmath]. Odatle dobijamo da je [inlmath]H=\frac{s\sqrt3}{3}[/inlmath] i imamo vec da je [inlmath]r=\frac{s\sqrt6}{3}[/inlmath], odakle dobijamo da je [inlmath]\frac{r}{H}=\sqrt2[/inlmath].

Ja sam dobio resenje, ali ne znam da li je postupak tacan.. takodje sam svestan da je ovo moje resenje malo teze objasniti bez slike, ali trudio sam se

[dispmath]t=r\sqrt3\\
t=s\sqrt2\\
s=\sqrt{\frac{3}{2}}r\\
H^2=s^2-r^2=\frac{1}{2}r^2\\
H=\frac{r}{\sqrt2}\\
\frac{r}{H}=\sqrt2[/dispmath] Ako bi to prepričali izgledalo bi ovako

diopo je napisao:Pa kad se razvije omotac kupe i napravi se ugao [inlmath]90^\circ[/inlmath] dobijamo 2 povrsine koje mogu da se odnose [inlmath]1:2[/inlmath] samo ukoliko je centralni ugao isecka [inlmath]135^\circ[/inlmath] ili [inlmath]270^\circ[/inlmath] ( valjda? :/).

Ugao [inlmath]90^\circ[/inlmath] ne dobijamo kad razvijemo omotač kupe, već taj ugao imamo na samoj kupi (bez razvijanja omotača). Uostalom, i sam si tako radio u svom postupku, za koji potvrđujem da je tačan.

Molim vas, može li objašnjenje kako je diopo dobio [inlmath]r=\frac{s\sqrt6}{3}[/inlmath], i bobanex [inlmath]t=r\sqrt3[/inlmath]
Takodjer, zasto je moguće da izvodnice obrazuju ugao od [inlmath]90[/inlmath] stepeni samo ako je ugao pri vrhu kupe prav ili tup? (Zašto ne može biti oštar?)

Ojler79532 je napisao:Molim vas, može li objašnjenje kako je diopo dobio [inlmath]r=\frac{s\sqrt6}{3}[/inlmath], i bobanex [inlmath]t=r\sqrt3[/inlmath]

Do ovoga se prilično lako dolazi ako nacrtaš slike odgovarajućih trouglova. Nemoj nikad raditi zadatke napamet, nego nacrtaj slike i uoči odnose odgovarajućih elemenata.

Ojler79532 je napisao:Takodjer, zasto je moguće da izvodnice obrazuju ugao od [inlmath]90[/inlmath] stepeni samo ako je ugao pri vrhu kupe prav ili tup? (Zašto ne može biti oštar?)

Ugao pri vrhu kupe je ugao pri vrhu crvenog jednakokrakog trougla na slici levo:


To je ugao između dve dijametralno suprotne izvodnice, i taj ugao je veći od ugla između izvodnica na slici desno (plavi trougao). Štaviše, očigledno je da je ugao između dve izvodnice maksimalan onda kada su te dve izvodnice dijametralno suprotne (a što se može i dokazati kosinusnom teoremom primenjenom na crveni odnosno plavi trougao s prethodne slike).

Zbog toga, ako je dat neki ugao između dve proizvoljne izvodnice (u ovom slučaju prav ugao), tada znamo da ugao pri vrhu kupe mora biti ili veći od tog ugla, ili jednak tom uglu u slučaju da su te dve izvodnice dijametralno suprotne.

Kosinusna teorema na [inlmath]\triangle AO'B[/inlmath], ako je [inlmath]t=s\sqrt2=AB[/inlmath], dobije se šta sam pitao. U stvari, kad sam zaista nacrtao sliku bilo je jasno. Hvala puno.