1. Ako je površina trougla [inlmath]P=\frac{15\sqrt3}{4}[/inlmath], poluprečnik opisanog kruga [inlmath]R=\frac{7\sqrt3}{3}[/inlmath], a najmanja stranica [inlmath]a=3[/inlmath], tada je njegova najveća stranica?
2. Tetiva [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]CD[/inlmath] kruga [inlmath]k[/inlmath] seku se u tački [inlmath]S[/inlmath]. Ako je [inlmath]AS=\sqrt2+1,\;SB=\sqrt2-1,\;CS=\sqrt3+1[/inlmath] dužina duži [inlmath]SD[/inlmath] je?
3. Dat je trougao sa stranicama [inlmath]a=2,\;b=3,\;c=4[/inlmath]. Za ugao [inlmath]\beta[/inlmath] naspram stranice [inlmath]b[/inlmath], važi?
Treba da pokažem da važi ovo [inlmath]45^\circ<\beta<60^\circ[/inlmath].

Prvi sam pokusala na milion nacina, bukvalno, sve formule i ne znam, i kako uopste da skontam koja je najveca :O
Drugi uporno dobijam [inlmath]\frac{1}{\sqrt3}+1[/inlmath], sto nije dobro.
Treci, pfff, neko moje razmisljanje, koje bas i nema logike xD ako vazi da naspram najvece stranice najveci ugao isl, ja sam [inlmath]180[/inlmath] podelila sa [inlmath]9[/inlmath], i odatle dobila da je [inlmath]\beta=60^\circ[/inlmath], e sad u resenjima ima ponudjeno da je [inlmath]\beta\ge60^\circ[/inlmath] i ja bi to zaokruzila, a to nije odgovor

sevdah baby je napisao:Prvi sam pokusala na milion nacina, bukvalno, sve formule i ne znam, i kako uopste da skontam koja je najveca :O

Kombinuj formule [inlmath]P=\frac{abc}{4R}[/inlmath] i [inlmath]P=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)},\;s=\frac{a+b+c}{2}[/inlmath], za najkraću stranicu uzmi [inlmath]a[/inlmath], a zatim iz prve formule [inlmath]c[/inlmath] izrazi preko [inlmath]b[/inlmath] i uvrsti u drugu formulu... Rešavanjem glomazne „kobasice“ koja će iz toga nastati, dobićeš da je [inlmath]b=5[/inlmath], [inlmath]c=7[/inlmath] (ili [inlmath]b=7[/inlmath], [inlmath]c=5[/inlmath], što mu dođe na isto).

sevdah baby je napisao:Drugi uporno dobijam [inlmath]\frac{1}{\sqrt3}+1[/inlmath], sto nije dobro.

Uoči sličnost trouglova [inlmath]\triangle ACS[/inlmath] i [inlmath]\triangle DBS[/inlmath], odakle sledi [inlmath]\overline{AS}:\overline{DS}=\overline{CS}:\overline{BS}[/inlmath].
Dobije se [inlmath]\frac{1}{\sqrt3+1}[/inlmath], ali onda to racionaliuješ...

sevdah baby je napisao:Treci, pfff, neko moje razmisljanje, koje bas i nema logike xD ako vazi da naspram najvece stranice najveci ugao isl, ja sam [inlmath]180[/inlmath] podelila sa [inlmath]9[/inlmath], i odatle dobila da je [inlmath]\beta=60^\circ[/inlmath], e sad u resenjima ima ponudjeno da je [inlmath]\beta\ge60^\circ[/inlmath] i ja bi to zaokruzila, a to nije odgovor

Primenom kosinusne teoreme dobiješ da je [inlmath]\cos\beta=\frac{11}{16}[/inlmath], pa to uporedi sa [inlmath]\cos45^\circ[/inlmath] i [inlmath]\cos60^\circ[/inlmath], uzimajući u obzir da je za oštre uglove kosinus opadajuća funkcija...

Kao sto rekoh pokusala sam i koristila sam sve te formule, pa mi se jako zakomlikuje, ali evo sta sam dobila, pa barem da znam jel sam na dobrom putu, [inlmath]bc=34[/inlmath], odatle [inlmath]b=\frac{35}{c}[/inlmath], [dispmath]s=c^2+3c+35/2c[/dispmath] i onda se bas zakomplikuje :O
Ovaj drugi sam zaboravila da racionalisem

Da, [inlmath]bc=35,\;b=\frac{35}{c}[/inlmath], to je OK.
Može li objašnjenje, kako si došla do formule [inlmath]s=c^2+3c+\frac{35}{2c}[/inlmath]?

Znajuci da je [inlmath]s=\frac{a+b+c}{2}[/inlmath] uvrstila sam u tu formulu sta znam tj. [inlmath]s=\frac{3+\frac{35}{c}+c}{2}[/inlmath] zatim sredjivanjem dodjem do tog izraza [inlmath]s=\frac{c^2+3c+35}{2c}[/inlmath]. Onda znajuci da je [inlmath]P=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}[/inlmath] ubacim sve sto znam u formulu i onda postane prekomplikovano za racunanje, i ja sam tu nesto kao racunala i dobijem [inlmath]675c^4=\left(c^4+9c^2-35^2\right)^2-\left(6c\right)^2[/inlmath] sto naravno nije tacno, i nakon toga sam jos racunala i odustala, jer mi nema nikakvog smisla.

Znači, [inlmath]s=\frac{c^2+3c+35}{2c}[/inlmath]? OK, to već ima smisla.

Molim te, uvek obrati pažnju na to da operacije množenja i deljenja imaju prioritet u odnosu na operacije sabiranja i oduzimanja. Znači, ako želiš ovaj izraz da napišeš bez upotrebe Latex-komande za razlomak, onda obavezno koristi zagrade da bi se znalo šta se prvo izračunava. Znači: [inlmath]s=\left(c^2+3c+35\right)/2c[/inlmath]
jer, kada napišeš [inlmath]s=c^2+3c+35/2c[/inlmath], to je isto što i [inlmath]s=c^2+3c+\frac{35}{2c}[/inlmath].

Što se tiče daljeg računanja, negde si pogrešila, ne dobija se [inlmath]675c^4=\left(c^4+9c^2-35^2\right)^2-\left(6c\right)^2[/inlmath], već se dobije
[inlmath]c^8-18c^6-1694c^4-22050c^2+1500625=0[/inlmath]
Iako na prvi pogled deluje megazastrašujuće, povoljna okolnost je ta, što su joj rešenja celi brojevi, iako mi to, u trenutku rešavanja, još uvek ne znamo, ali, ako uvrštavamo cele brojeve doći ćemo do onih koji će zadovoljiti jednakost i njih ćemo usvojiti kao rešenja. E sad, kako da znamo s kojim celim brojevima uopšte ima smisla ovo isprobavati? Kandidati za rešenja su oni celi brojevi koji predstavljaju faktore slobodnog člana, u ovom slučaju faktore broja [inlmath]1500625[/inlmath].
A evo zašto je to tako. Posmatramo opšti slučaj polinoma koji je predstavljen u faktorisanom obliku:
[inlmath]a\left(x-x_1\right)\left(x-x_1\right)\cdots\left(x-x_n\right)[/inlmath]
Očigledno je da su [inlmath]x_1,\;x_2\cdots x_n[/inlmath] nule tog polinoma.
Kad taj polinom razvijemo, njegov slobodan član (onaj koji ne zavisi od [inlmath]x[/inlmath]) biće jednak [inlmath]\left(-1\right)^nax_1x_2\cdots x_n[/inlmath], tj. vidimo da će biti deljiv sa svakom od nula tog polinoma.
Kad se [inlmath]1500625[/inlmath] rastavi na proste faktore, vidimo da će njegovi prosti faktori biti [inlmath]5,\;5,\;5,\;5,\;7,\;7,\;7,\;7[/inlmath]. Samim tim vidimo da su kandidati za celobrojna rešenja ovog čudovišta od jednačine [inlmath]5,\;7,\;-5,\;-7[/inlmath], kao i oni brojevi koji predstavljaju proizvode svih tih faktora – [inlmath]25,\;-25,\;35,\;-35,\;49,\;-49[/inlmath] itd.
Pokušamo sa [inlmath]c=5[/inlmath] i voila – jednakost je zadovoljena.
Pokušamo i sa [inlmath]c=7[/inlmath], takođe zadovoljena.
Rešenja ove jednačine biće i [inlmath]c=-5[/inlmath] i [inlmath]c=-7[/inlmath], ali negativna rešenja ne razmatramo, jer stranice trougla, fala bogu, mogu biti samo pozitivne.

Jel mozes odavde jos malo da mi pojasnis, tj kako si ga razdvoio i skontao koji je slobodan clan, taj medjudeo ne kontam bas, a dalje kad rastavljas na proste faktore razumem a racun cu kasnije opet pogledati, stvarno sam umorna sada za to
I jel realno da ovo ne moze na laksi nacin?
I hvala naravnoooooo ^_^

U principu, ovo se smenom [inlmath]t=c^2[/inlmath] svede na jednačinu 4-og stepena, a za jednačine 4-og stepenena postoji opšta formula po kojoj se mogu rešavati, nalik one za kvadratnu jednačinu, samo mnogo obimnija i složenija.
http://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_fu ... _for_roots
Jedini problem je upravo glomaznost, i postupak rešavanja koji je daleko duži, tako da ti je Daniel ponudio najjednostavnu varijantu.
Što se tiče slobodnog člana... Kad množiš:
[dispmath]a\left(x-x_1\right)\left(x-x_1\right)\cdots\left(x-x_n\right)[/dispmath]
jedini član koji ne zavisi od [inlmath]x[/inlmath] je proizvod nula i [inlmath]a[/inlmath] uz odgovarajući predznak... Znači, sve ostalo sadrži neko [inlmath]x[/inlmath]...
Za kvadratnu jednačinu:
[dispmath]a(x-x_1)(x-x_2)=a\left(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\right)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2[/dispmath]
Sasvim slično i kada je broj faktora veći, s tim što predznak varira u zavisnosti od parnosti broja faktora.
I u opštem slučaju je
[inlmath]\left(-1\right)^nax_1x_2\cdots x_n[/inlmath]

8. Neka su u proizvoljnom trouglu [inlmath]\alpha[/inlmath], [inlmath]\beta[/inlmath] i [inlmath]\gamma[/inlmath] uglovi, [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] dužine stranica naspram datih uglova i [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik opisanog kruga, tada je [inlmath]\displaystyle\frac{a^2+b^2+c^2}{3-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma}[/inlmath] jednako:

Urađen je pre desetak dana, ovde.