MATEMANIJA

Zadatak glasi: Oko pravilnog oktaedra je opisana kocka, tako da su temena oktaedra središta pljosni kocke. U isti oktaedar je upisana kocka, tako da su temena kocke središta pljosni oktaedra. Koliki je odnos zapremina ove dve kocke?

Je l' može neko da mi pomogne na koji način se radi ovaj zadatak? Jasno mi je da su temena oktaedra u preseku dijagonala strana kocke, i da se temena kocke poklapaju sa težištima strana oktaedra, i tako mogu da zamislim neku sliku, ali nemam ideju kako se može rešiti...

Možda pomogne ako se situacija posmatra iz specijalnih uglova. To bi izgledalo ovako ako se posmatra iz nekog opšteg ugla,


a posmatrano iz specijalnih uglova imali bismo sledeće oblike:


S gornje slike se sasvim trivijalno može izraziti ivica spoljašnje kocke preko ivice oktaedra.


A odavde se može uz nešto više (al' opet ne mnogo) posla izraziti i ivica unutrašnje kocke preko ivice oktaedra (ja bih to radio preko sličnosti trouglova).

Hvala na odgovoru
Da dopunimo post:
Ja dobijam da je ivica spoljašnje kocke jednaka [inlmath]a\sqrt2[/inlmath], a ivica unutrašnje [inlmath]\frac{a\sqrt2}{\sqrt2+1}[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] ivica pravilnog oktaedra (ako nisam negde pogrešio). Dalje je posle jednostavno naći odnos zapremina upisane i opisane kocke: [inlmath]1:\left(\sqrt2+1\right)^3[/inlmath]. Da li je ovo tačno?

Za ivicu spoljašnje kocke nam se rezultati poklapaju, al' za ivicu unutrašnje kocke ja dobijam [inlmath]\frac{a\sqrt2}{3}[/inlmath]...

Da, sad sam bas hteo da napišem da sam pogrešio.. Pošto rešenje i jeste [inlmath]1:27[/inlmath]. Ali ne znam kako da dobijem to za ivicu manje kocke, nisam dobro primenio sličnost..

'Oćeš da napišeš kako si radio, pa da nađemo grešku?

Ako možeš, ispiši ti postupak, shvatiću.. Nešto sam se zbunio šta je koje dužine na drugoj slici..

Hajde, možeš ti to. Jedan si od boljih članova foruma (a uz to i jubilarni hiljaditi), i nemoj da me razočaravaš.
Evo male pomoći:


[inlmath]OB=[/inlmath] polovina ivice oktaedra;
[inlmath]OP=QR=[/inlmath] polovina ivice unutrašnje kocke;
[inlmath]OR=PQ=[/inlmath] polovina dijagonale strane unutrašnje kocke;
[inlmath]AB=[/inlmath] visina strane oktaedra;
[inlmath]BQ=[/inlmath] trećina visine strane oktaedra;
[inlmath]AQ=[/inlmath] dve trećine visine strane oktaedra.

Ovde imaš i više nego što ti je potrebno da bi rešio zadatak, al' od viška glava ne boli.

Trougao [inlmath]AOB[/inlmath] i trougao [inlmath]APQ[/inlmath] sa slike su slični. Sledi:
[dispmath]\frac{OB}{PQ}=\frac{OA}{AP}[/dispmath] Označimo sa [inlmath]a[/inlmath] ivicu pravilnog oktaedra, a sa [inlmath]b[/inlmath] ivicu upisane kocke. Ivica opisane kocke je [inlmath]a\sqrt2[/inlmath] (izračunato). [inlmath]OA=\frac{a\sqrt2}{2}[/inlmath] - polovina ivice opisane kocke. [inlmath]OB=\frac{a}{2}[/inlmath], [inlmath]PQ=\frac{b\sqrt2}{2}[/inlmath], [inlmath]AP=\frac{a\sqrt2}{2}-\frac{b}{2}[/inlmath]. Zamenom u prethodnu relaciju (koja sledi iz sličnosti), dobija se ivica upisane kocke:
[dispmath]b=\frac{a\sqrt2}{3}[/dispmath] Odnos zapremina upisane i opisane kocke je [inlmath]1:27[/inlmath].

OK je postupak. Nešto jednostavnije bi bilo posmatrati sličnost trouglova [inlmath]\triangle QRB[/inlmath] i [inlmath]\triangle AOB[/inlmath], iz koje sledi [inlmath]\frac{QR}{AO}=\frac{QB}{AB}\left(=\frac{1}{3}\right)[/inlmath].

Ili, sličnost trouglova [inlmath]\triangle APQ[/inlmath] i [inlmath]\triangle AOB[/inlmath], iz koje sledi [inlmath]\frac{PQ}{OB}=\frac{AQ}{AB}\left(=\frac{2}{3}\right)[/inlmath].