Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Planimetrija za prijemni ETF

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Planimetrija za prijemni ETF

Postod maxaa » Utorak, 18. Jun 2013, 00:24

E ovako, ovo iskljucivo radim da ne bih otvarao "sto" tema, jednu po jednu i davio ljude po forumu, te sam s toga grupisao sve zadatke sa ETF-a (od 2003 do 2012) koji mi nisu jasni.

Postavaio sam sve zadatke, ali naravno ukoliko se rade slicnom metodom, bilo bi lepo, da mi pored tog zadatka samo napisete: "isti princip kao kod tog i tog zadatka", da bih pokusao sam da resim zadatak po tom principu.

Zadaci su sledeci:

5. Oko kruga je opisan trapez čija srednja linija iznosi [inlmath]8\mbox{ cm}[/inlmath]. Obim trapeza je (u [inlmath]\mbox{ cm}[/inlmath]):
[inlmath](A)\;16\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;24\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;32\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;36\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;30\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

8. Osnovica jednakokrakog trougla je [inlmath]6\mbox{ cm}[/inlmath] a krak [inlmath]12\mbox{ cm}[/inlmath]. Poluprečnik opisanog kruga oko trougla iznosi (u [inlmath]\mbox{cm}[/inlmath]):
[inlmath](A)\;\frac{7}{5}\sqrt{15}\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;4\sqrt{13}\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;3\sqrt{15}\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;6\sqrt{13}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(E)}\;\frac{8}{5}\sqrt{15}\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

8. Osnovica jednakokrakog trougla iznosi [inlmath]\sqrt 2\mbox{ cm}[/inlmath]. Težišne duži koje su povučene na krake seku se pod pravim uglom. Površina tog trougla (u [inlmath]\mbox{cm}^2[/inlmath]) iznosi:
[inlmath]\enclose{box}{(A)}\;1,5\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;2,5\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;2\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;3,5\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;4\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

9. Stranica romba čija je površina [inlmath]80\mbox{ cm}^2[/inlmath], a odnos dijagonala [inlmath]4:5[/inlmath], iznosi (u [inlmath]\mbox{cm}[/inlmath]):
[inlmath]A)\;\sqrt{84};\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\sqrt{81};\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\sqrt{72};\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\sqrt{80};\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{E)}\;\sqrt{82};\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\mbox{Ne znam}.[/inlmath]

13. U krugu poluprečnika [inlmath]2\mbox{ cm}[/inlmath] dužina tetive kojoj odgovara periferijski ugao od [inlmath]15^\circ[/inlmath], iznosi (u [inlmath]\mbox{cm}[/inlmath]):
[inlmath](A)\;\sqrt 6+\sqrt 2\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(B)}\;\sqrt 6-\sqrt 2\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;\frac{1}{2}\left(\sqrt 6-\sqrt 2\right)\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;\frac{1}{\sqrt 3}\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;2\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

17. Katete pravouglog trougla iznose [inlmath]3\mbox{ cm}[/inlmath] i [inlmath]4\mbox{ cm}[/inlmath]. Rastojanje između centara upisanog kruga i opisanog kruga tog trougla iznosi (u [inlmath]\mbox{cm}[/inlmath]):
[inlmath](A)\;\frac{1}{2}\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;\frac{\sqrt 3}{2}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;\frac{\sqrt 5}{2}\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;2\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;\frac{\sqrt 3}{4}\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Planimetrija za prijemni ETF

Postod forzajuve » Utorak, 18. Jun 2013, 02:00

maxaa je napisao:5. Oko kruga je opisan trapez čija srednja linija iznosi [inlmath]8\mbox{ cm}[/inlmath]. Obim trapeza je (u [inlmath]\mbox{ cm}[/inlmath]):
[inlmath](A)\;16\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;24\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;32\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;36\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;30\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

Data je srednja linija trapeza:
[dispmath]m=\frac{a+b}{2}=8[/dispmath]
pa je odavde:
[dispmath]a+b=16[/dispmath]
i onda samo primenis sledece:
[dispmath]a+b=c+d[/dispmath]
tj. [dispmath]16=c+d[/dispmath]
odnosno
[dispmath]c+d=16[/dispmath]
i na kraju obim:
[dispmath]O=a+b+c+d[/dispmath]
[dispmath]O=16+16[/dispmath]
[dispmath]O=32\mbox{ cm}[/dispmath]
Korisnikov avatar
 
Postovi: 130
Zahvalio se: 115 puta
Pohvaljen: 103 puta

Re: Planimetrija za prijemni ETF

Postod forzajuve » Utorak, 18. Jun 2013, 03:12

maxaa je napisao:8. Osnovica jednakokrakog trougla je [inlmath]6\mbox{ cm}[/inlmath] a krak [inlmath]12\mbox{ cm}[/inlmath]. Poluprečnik opisanog kruga oko trougla iznosi (u [inlmath]\mbox{cm}[/inlmath]):
[inlmath](A)\;\frac{7}{5}\sqrt{15}\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;4\sqrt{13}\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;3\sqrt{15}\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;6\sqrt{13}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(E)}\;\frac{8}{5}\sqrt{15}\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

Prvo nadjes visinu trougla - [inlmath]h=3\sqrt{15}[/inlmath]

Pa onda uocimo slicnost trouglova:
[inlmath]AMF[/inlmath] i trougla [inlmath]ACG[/inlmath]

pa sledi da je:
[dispmath]AG(h):AF=AC:AM(\mbox{nase }R)[/dispmath]
[dispmath]3\sqrt{15}:6=12:AM[/dispmath]
[dispmath]AM(\mbox{poluprecnik})=\frac{8}{5}\cdot\sqrt{15}[/dispmath]
A evo i slike:

trougao.jpg
trougao.jpg (3.95 KiB) Pogledano 7070 puta
Poslednji put menjao Daniel dana Sreda, 12. Mart 2014, 02:05, izmenjena samo jedanput
Razlog: Kropovanje slike
Korisnikov avatar
 
Postovi: 130
Zahvalio se: 115 puta
Pohvaljen: 103 puta

Re: Planimetrija za prijemni ETF

Postod Daniel » Utorak, 18. Jun 2013, 08:39

Ona tri poslednja, izdvojena zadatka ipak nekako više spadaju u „Trigonometriju“, pa sam ih tamo premestio i tamo ti i napisao odgovore.

Samo mala napomena u vezi s prethodnom slikom jednakokrakog trougla – duži [inlmath]\overline{BM}[/inlmath] i [inlmath]\overline{FM}[/inlmath] u opštem slučaju nisu na istom pravcu. Na slici taj jednakokraki trougao liči na jednakostraničan, a kod jednakostraničnog trougla (kao posebnom slučaju jednakokrakog) te dve duži jesu na istom pravcu. Eto, da te to ne zbuni.

Pošto je Forza krenuo po redu od početka, ja ću po redu od kraja. :D Da se ne bismo „sudarali“. :) Dakle, poslednji zadatak:

maxaa je napisao:17. Katete pravouglog trougla iznose [inlmath]3\mbox{ cm}[/inlmath] i [inlmath]4\mbox{ cm}[/inlmath]. Rastojanje između centara upisanog kruga i opisanog kruga tog trougla iznosi (u [inlmath]\mbox{cm}[/inlmath]):
[inlmath](A)\;\frac{1}{2}\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;\frac{\sqrt 3}{2}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;\frac{\sqrt 5}{2}\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;2\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;\frac{\sqrt 3}{4}\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

trougao.png
trougao.png (2.86 KiB) Pogledano 7218 puta

[inlmath]\overline{BC}=3\:\mathrm{cm}[/inlmath]
[inlmath]\overline{AC}=4\:\mathrm{cm}[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow\quad\overline{AB}=5\:\mathrm{cm}[/inlmath]
[inlmath]\overline{OS}=?[/inlmath]

Pošto je trougao pravougli, centar opisane kružnice nalazi se na središtu hipotenuze. Obeležen je sa [inlmath]S[/inlmath].
Centar upisane kružnice obeležen je sa [inlmath]O[/inlmath].

[inlmath]\overline{AB}=2\overline{BS}[/inlmath]
[inlmath]\overline{AP}=\overline{AN}[/inlmath]
[inlmath]\overline{BP}=\overline{BM}[/inlmath]
[inlmath]\overline{CM}=\overline{CN}=\overline{OM}=\overline{ON}=\overline{OP}[/inlmath]
[inlmath]\overline{AB}=\overline{AP}+\overline{BP}=\overline{AN}+\overline{BM}[/inlmath]
[inlmath]\overline{AC}+\overline{BC}=\overline{AN}+\overline{CN}+\overline{BM}+\overline{CM}=\underbrace{\overline{AN}+\overline{BM}}_{\overline{AB}}+\underbrace{\overline{CM}+\overline{CN}}_{2\overline{OP}}[/inlmath]
[inlmath]4+3=5+2\overline{OP}[/inlmath]
[inlmath]\overline{OP}=1\:\mathrm{cm}[/inlmath]

[inlmath]\overline{OS}=\sqrt{{\overline{OP}}^2+{\overline{PS}}^2}[/inlmath]
[inlmath]\overline{PS}=\overline{BS}-\overline{BP}=\frac{1}{2}\overline{AB}-\overline{BM}=\frac{1}{2}\overline{AB}-\left(\overline{BC}-\overline{CM}\right)=\frac{1}{2}\overline{AB}-\overline{BC}+\overline{CM}=\frac{5}{2}-3+1=\frac{1}{2}[/inlmath]
[inlmath]\overline{OS}=\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt 5}{2}[/inlmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8818
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4882 puta
Pohvaljen: 4719 puta

Re: Planimetrija za prijemni ETF

Postod maxaa » Utorak, 18. Jun 2013, 09:32

Hvlala puno, stvarno su objasnjenja pregledna i jasna u potpunosti. Jedino kod prvog zadatka mi je nepoznato pravilo za trapez da je [inlmath]a+b=c+d[/inlmath], jel ono vazi samo kad je ovakav slucaj u pitanju?
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Re: Planimetrija za prijemni ETF

Postod Daniel » Utorak, 18. Jun 2013, 10:26

Hvala, trudimo se. :)

Pravilo [inlmath]a+b=c+d[/inlmath] važi kod tangentnog trapeza, a to je onaj trapez u koji je moguće upisati kružnicu, tj. koji je opisan oko neke kružnice, kao što je to slučaj u ovom zadatku. Zove se tangentni, zato što njegove stranice predstavljaju tangente na tu kružnicu oko koje je opisan.

Za razliku od trouglova, kod kojih je u svaki moguće upisati i oko svakog moguće opisati kružnicu, kod trapeza u opštem slučaju nije moguće upisati niti opisati kružnicu. Ako je moguće upisati kružnicu, to je, dakle, tangentni trapez, a ako je moguće opisati kružnicu, to je tetivni trapez (tetivni trapezi su jednakokraki).

Ovo pravilo [inlmath]a+b=c+d[/inlmath] kod tangentnog trapeza može se i dokazati:

tangentni trapez.png
tangentni trapez.png (4.45 KiB) Pogledano 7212 puta

Posmatramo podudarnost trouglova [inlmath]\triangle AMO[/inlmath] i [inlmath]\triangle AQO[/inlmath], trouglova [inlmath]\triangle BMO[/inlmath] i [inlmath]\triangle BNO[/inlmath], trouglova [inlmath]\triangle CPO[/inlmath] i [inlmath]\triangle CNO[/inlmath] i trouglova [inlmath]\triangle DPO[/inlmath] i [inlmath]\triangle DQO[/inlmath]:
[dispmath]\triangle AMO\cong\triangle AQO\quad\Rightarrow\quad\overline{AM}=\overline{AQ}[/dispmath][dispmath]\triangle BMO\cong\triangle BNO\quad\Rightarrow\quad\overline{BM}=\overline{BN}[/dispmath][dispmath]\triangle CPO\cong\triangle CNO\quad\Rightarrow\quad\overline{CP}=\overline{CN}[/dispmath][dispmath]\triangle DPO\cong\triangle DQO\quad\Rightarrow\quad\overline{DP}=\overline{DQ}[/dispmath][dispmath]a+b=\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{AM}+\overline{BM}+\overline{CP}+\overline{DP}=\overline{AQ}+\overline{BN}+\overline{CN}+\overline{DQ}=[/dispmath][dispmath]=\underbrace{\overline{BN}+\overline{CN}}_\overline{BC}+\underbrace{\overline{AQ}+\overline{DQ}}_\overline{AD}=\overline{BC}+\overline{AD}=c+d[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8818
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4882 puta
Pohvaljen: 4719 puta

Re: Planimetrija za prijemni ETF

Postod maxaa » Utorak, 18. Jun 2013, 12:41

Jasno kao dan :)
Hvala puno!
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Re: Planimetrija za prijemni ETF

Postod Daniel » Utorak, 18. Jun 2013, 17:23

:handgestures-thumbupright:

maxaa je napisao:13. U krugu poluprečnika [inlmath]2\mbox{ cm}[/inlmath] dužina tetive kojoj odgovara periferijski ugao od [inlmath]15^\circ[/inlmath], iznosi (u [inlmath]\mbox{cm}[/inlmath]):
[inlmath](A)\;\sqrt 6+\sqrt 2\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(B)}\;\sqrt 6-\sqrt 2\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;\frac{1}{2}\left(\sqrt 6-\sqrt 2\right)\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;\frac{1}{\sqrt 3}\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;2\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

Označimo dužinu tetive [inlmath]\overline{AB}[/inlmath] sa [inlmath]x[/inlmath].

tetiva.png
tetiva.png (3.37 KiB) Pogledano 7188 puta

Pošto je ugao [inlmath]\angle ACB[/inlmath], kao periferni ugao nad tetivom [inlmath]\overline{AB}[/inlmath], jednak [inlmath]15^\circ[/inlmath], ugao [inlmath]\angle AOB[/inlmath], kao centralni ugao nad istom tom tetivom, biće dva puta veći od perifernog ugla, tj. biće [inlmath]\angle AOB=30^\circ[/inlmath].
Pošto su uglovi [inlmath]\angle AOD[/inlmath] i [inlmath]\angle BOD[/inlmath] međusobno jednaki a njihov zbir je jednak uglu [inlmath]\angle AOB[/inlmath], svaki od njih će biti jednak polovini ugla [inlmath]\angle AOB[/inlmath], tj. biće [inlmath]\angle AOD=\angle BOD=15^\circ[/inlmath].

Posmatramo sada trougao [inlmath]\triangle BOD[/inlmath]:[dispmath]\sin\angle BOD=\frac{\frac{x}{2}}{r}\quad\Rightarrow\quad x=2r\sin\angle BOD[/dispmath][dispmath]x=2\cdot 2\sin\angle 15^\circ=4\sin\angle 15^\circ[/dispmath]Primenićemo formulu za sinus polovine ugla, pri čemu ispred korena uzimamo plus, budući da se radi o oštrom uglu, a sinus oštrog ugla je pozitivan:[dispmath]x=4\sqrt{\frac{1-\cos\angle 30^\circ}{2}}[/dispmath][dispmath]x=4\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt 3}{2}}{2}}[/dispmath][dispmath]x=2\sqrt{2-\sqrt 3}[/dispmath]I ovo bi trebalo da može da se prizna kao tačno rešenje, ali pokušaćemo da ovaj koren napišemo u malo „lepšem“ obliku, tj. da potkorenu veličinu predstavimo kao kvadrat nekog izraza, kako bi se koren i kvadrat kratili:

[inlmath]\left(a-b\right)^2\mathop=2-\sqrt 3[/inlmath]

[inlmath]a^2+b^2-2ab=2-\sqrt 3[/inlmath]

[inlmath]\left.\begin{array}{ll}
a^2+b^2\mathop=2 \\
2ab=\sqrt 3
\end{array}\right\}[/inlmath]

[inlmath]b=\frac{\sqrt 3}{2a}[/inlmath]

[inlmath]a^2+\left(\frac{\sqrt 3}{2a}\right)^2\mathop=2[/inlmath]

[inlmath]a^2+\frac{3}{4a^2}=2\quad /\cdot 4a^2[/inlmath]

[inlmath]4a^4-8a^2+3=0[/inlmath]

[inlmath]\left(a^2\right)_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64-48}}{8}[/inlmath]

[inlmath]\left(a^2\right)_{1,2}=\frac{8\pm 4}{8}=\frac{2\pm 1}{2}[/inlmath]

[inlmath]\left(a^2\right)_1=\frac{1}{2},\quad\left(a^2\right)_2=\frac{3}{2}[/inlmath]

Uzimamo jedno od rešenja:

[inlmath]a=\frac{1}{\sqrt 2},\quad b=\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}[/inlmath]

[inlmath]\left(\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right)^2\mathop=2-\sqrt 3[/inlmath][dispmath]x=2\sqrt{2-\sqrt 3}[/dispmath][dispmath]x=2\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right)^2}[/dispmath][dispmath]x=2\left|\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right|[/dispmath][dispmath]x=2\left(\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}-\frac{1}{\sqrt 2}\right)[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{x=\sqrt 6-\sqrt 2}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8818
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4882 puta
Pohvaljen: 4719 puta

Re: Planimetrija za prijemni ETF

Postod maxaa » Utorak, 18. Jun 2013, 23:59

Daniele, hvala za zadatak, sad krecem sa vezbanjem. Preci cu sve ove zdatke, koje sam postavio, uz pomoc tvojih i forzinih objasnjenja, pa se javljam ukoliko bude nedoumica. :)
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Re: Planimetrija za prijemni ETF

Postod Daniel » Četvrtak, 20. Jun 2013, 20:02

maxaa je napisao:9. Stranica romba čija je površina [inlmath]80\mbox{ cm}^2[/inlmath], a odnos dijagonala [inlmath]4:5[/inlmath], iznosi (u [inlmath]\mbox{cm}[/inlmath]):
[inlmath]A)\;\sqrt{84};\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\sqrt{81};\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\sqrt{72};\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\sqrt{80};\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{E)}\;\sqrt{82};\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\mbox{Ne znam}.[/inlmath]

Kod romba se dijagonale seku pod pravim uglom, pa, ako nacrtaš sliku, videćeš da je proizvod dijagonala romba jednak njegovoj dvostrukoj površini.

Znači, imamo sistem od dve jednačine s dve nepoznate:
[dispmath]\begin{array}{ll}
d_1d_2=2P=160\:\mathrm{cm}^2 \\
d_1:d_2=4:5
\end{array}[/dispmath]
Rešiš ga, nađeš [inlmath]d_1[/inlmath] i [inlmath]d_2[/inlmath], a zatim, opet gledajući sliku, nađeš i stranicu [inlmath]a[/inlmath], primenivši Pitagorinu teoremu:
[dispmath]a=\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8818
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4882 puta
Pohvaljen: 4719 puta

Sledeća

Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 31 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 17. Oktobar 2021, 17:37 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs