MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 27. jun 2017.
12. zadatak

U trouglu je jedan unutrašnji ugao jednak razlici druga dva unutrašnja ugla. Odnos dveju kraćih stranica je [inlmath]3:4[/inlmath]. Ako je površina trougla [inlmath]24\text{ cm}^2[/inlmath], obim kruga opisanog oko tog trougla je?
Kako biste rešili ovaj zadatak?

Recimo da je [inlmath]\alpha=\gamma-\beta[/inlmath] i [inlmath]\alpha+\beta+\gamma=180^\circ[/inlmath], to se zameni:
[dispmath]\gamma-\beta+\beta+\gamma=180^\circ,\;\gamma=90^\circ[/dispmath] Dakle pravougli trougao, iz podataka imamo [inlmath]a:b=3:4\;\Longrightarrow\;a=3k,\;b=4k[/inlmath]
Pitagorina teorema i dobija se [inlmath]c=5k[/inlmath]
I konačno se primeni formula za površinu pravouglog trouga [inlmath]P=\frac{1}{2}ab\sin90^\circ[/inlmath] i iz toga imamo [inlmath]k=2[/inlmath]

[inlmath]R[/inlmath] (poluprečnik opisanog kruga) je [inlmath]R=\frac{c}{2}=5[/inlmath] iz čega obim sledi [inlmath]O=10\pi[/inlmath]