MATEMANIJA

Hipotenuza pravouglog trougla je [inlmath]4[/inlmath] puta duza od visine na tu hipotenuzu. Koliki je ugao tog trougla naspram manje katete?

Eh, sad, probao sam na vise nacina da dobijem ovo, primenom Euklidovog stava, izjednacavanjem povrsina, ali sve je bilo presipanje iz supljeg u prazno, neka ideja?

Je l imas neko resenje?

Ja sam dobio da manji ugao iznosi [inlmath]15^\circ[/inlmath]. No nisam uopšte siguran da li je tačno. Da li možda imaš krajnje rešenje?

@Miladin to je tačan odgovor, inače ovo je zadatak sa Mašinskog fakulteta 2017.

Obeležimo ugao kod temena [inlmath]B[/inlmath] sa [inlmath]\beta[/inlmath]. Posmatrajući trougao koji pravi visina na hipotenuzu i koji sadrži pomenuti ugao, zaključujemo da važi [inlmath]\sin\beta=\frac{h_c}{a}=\frac{c}{4a}[/inlmath]. Primenom sinusne teoreme na ceo trougao zaključujemo da važi [inlmath]\sin\beta=\frac{b}{c}[/inlmath]. Izjednačavanjem ove dve jednakosti, uz malo „očiglednog” sređivanja, dolazimo do [inlmath]a^2-4ab+b^2=0[/inlmath]. Ako navedenu jednakost podelimo sa [inlmath]a^2[/inlmath], dobijamo
[dispmath]1-4\cdot\frac{b}{a}+\left(\frac{b}{a}\right)^2=0[/dispmath] Uočavamo da je [inlmath]\frac{b}{a}[/inlmath] zapravo [inlmath]\text{tg }\beta[/inlmath]. Rešavanjem kvadratne jednačine imamo: [inlmath]\text{tg }\beta=2+\sqrt3[/inlmath], [inlmath]\text{tg }\beta=2-\sqrt3[/inlmath]. Budući da se radi o manjem uglu, zaključujemo [inlmath]\beta=\text{arctg}\left(2-\sqrt3\right)=15^\circ[/inlmath]. Uzimajući u obzir da je reč o zadatku sa prijemnog, ovo rešenje je u najmanju ruku problematično, jer se ne radi o karakterističnom uglu.

Da se sad malo pravim pametan, kad je već Miladin Jović rešio zadatak. Na osnovu vrednosti tangensa, možemo da pretpostavimo da je u pitanju ugao manji od [inlmath]30^\circ[/inlmath]. Za ovaj ugao znamo da mu tangens iznosi [inlmath]\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath], a pošto je [inlmath]2-\sqrt3<\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath], možemo da zaključimo da je i traženi ugao manji od [inlmath]30^\circ[/inlmath]. Pretpostavićemo da naš ugao iznosi polovinu karakterističnog ugla i primenićemo formulu za tangens polovine ugla:
[dispmath]\text{tg}^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}[/dispmath] Odavde sređivanjem dolazimo do:
[dispmath]\cos\alpha=\frac{-3+2\sqrt3}{4-2\sqrt3}[/dispmath] Možda se odavde ne vidi odmah, ali ako se razlomak proširi sa [inlmath]\frac{4+2\sqrt3}{4+2\sqrt3}[/inlmath], dobija se da je [inlmath]\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]. U situaciji kada kalkulator nije dozvoljen, ne vidim drugi način kako bi se izračunao traženi ugao.

Ako površinu tog pravouglog trougla napišemo kao
[dispmath]P=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch_c=\frac{c^2}{8}[/dispmath] Možemo pisati
[dispmath]ab=\frac{c^2}{4}\;\Longrightarrow\;\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{c}=\frac{1}{4}\;\Longrightarrow\;\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}\;\Longrightarrow\;\sin2\alpha=\frac{1}{2}\;\Longrightarrow\;2\alpha=\frac{\pi}{6}\;\Longrightarrow\;\alpha=\frac{\pi}{12}=15^\circ[/dispmath] Pretposlednja implikacija ne važi u opštem slučaju, ali pošto znamo da [inlmath]\alpha[/inlmath] pripada prvom kvadrantu, u ovom specijalnom slučaju, važi.

miletrans je napisao:[dispmath]\cos\alpha=\frac{-3+2\sqrt3}{4-2\sqrt3}[/dispmath] Možda se odavde ne vidi odmah, ali ako se razlomak proširi sa [inlmath]\frac{4+2\sqrt3}{4+2\sqrt3}[/inlmath], dobija se da je [inlmath]\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath].

Ili, možemo da brojilac [inlmath]-3+2\sqrt3[/inlmath] napišemo kao [inlmath]-\sqrt3\cdot\sqrt3+2\sqrt3[/inlmath], tj. kao [inlmath]\left(2-\sqrt3\right)\sqrt3[/inlmath], pa se skrati faktor [inlmath]\left(2-\sqrt3\right)[/inlmath] u brojiocu i imeniocu.

Sličan način ovom bio bi da se radi preko tangensa dvostrukog ugla, [inlmath]\text{tg }2\alpha=\frac{2\text{tg }\alpha}{1-\text{tg}^2\alpha}[/inlmath], gde se umesto [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath] uvrsti [inlmath]2-\sqrt3[/inlmath] itd.

Mada, lično bih zbog jednostavnosti preporučio postupak koji je pokazao Corba248. Samo, ako smem jednu malu dopunu:

Corba248 je napisao:[dispmath]\cdots\;\Longrightarrow\;\sin2\alpha=\frac{1}{2}\;\Longrightarrow\;2\alpha=\frac{\pi}{6}\;\Longrightarrow\;\alpha=\frac{\pi}{12}=15^\circ[/dispmath] Pretposlednja implikacija ne važi u opštem slučaju, ali pošto znamo da [inlmath]\alpha[/inlmath] pripada prvom kvadrantu, u ovom specijalnom slučaju, važi.

Iz [inlmath]\sin2\alpha=\frac{1}{2}[/inlmath] može slediti i [inlmath]2\alpha=\frac{\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]2\alpha=\frac{5\pi}{6}[/inlmath] (ukoliko smo [inlmath]\alpha[/inlmath] ograničili na prvi kvadrant, kao što jesmo). Odatle [inlmath]\alpha[/inlmath] može biti i [inlmath]\frac{\pi}{12}[/inlmath] i [inlmath]\frac{5\pi}{12}[/inlmath], tj. [inlmath]15^\circ[/inlmath] ili [inlmath]75^\circ[/inlmath]. Zbog uslova zadatka, biramo manje rešenje (ono veće rešenje odgovaraće drugom oštrom uglu u trouglu). Smatrao sam da je bitno da ovo napomenem, jer da je zadatak recimo glasio da se traži ugao trougla naspram veće katete, onda iz [inlmath]\sin2\alpha=\frac{1}{2}[/inlmath] ne bismo smeli da eliminišemo mogućnost [inlmath]2\alpha=\frac{5\pi}{6}[/inlmath].