MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF - 16. jun 2018.
12. zadatak

Dat je trapez [inlmath]ABCD[/inlmath] čije su osnovice [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]CD[/inlmath] i za koji važi da su prave [inlmath]AD[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] uzajamno normalne. Ako je [inlmath]AB=12[/inlmath] i [inlmath]CD=5[/inlmath], onda je zbir kvadrata dijagonala trapeza [inlmath]ABCD[/inlmath] jednak?
Tačan odgovor je [inlmath]169[/inlmath].

I sa ovim zadatkom isto kao i sa onim što sam malo ranije postovao nemam predstavu šta da radim, sedim i gledam u skicu i stvarno nikakvu ideju ne dobijam...

Evo slika za pocetak.


Dakle, [inlmath]AD[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] su normalne. Povuces iz temena [inlmath]C[/inlmath] jednu pravu koja je paralelna sa [inlmath]AD[/inlmath], videces da je to kao da si slajdovao stranicu [inlmath]AD[/inlmath] ( zvacemo je [inlmath]c[/inlmath] ). Ta prava koju si povukao, posto je paralelna sa [inlmath]AD[/inlmath], logicno da je normalna na [inlmath]CB[/inlmath]. Dobijas pravougli trougao cija je hipotenuza [inlmath]7[/inlmath] jer si bukvalno preneo kracu osnovicu dole, te treba da oduzmes. Odatle pravis pitagorinu teoremu [inlmath]c^2+d^2=49[/inlmath]. Sada se fokusiras na trougao [inlmath]ABO[/inlmath] gde takodje mozes da primenis pitagorinu teoremu: [inlmath](OA)^2+(OB)^2=144[/inlmath].

Sada radis slicnost velikog i malog trougla (cije se teme nalazi u preseku prave koja polazi iz [inlmath]C[/inlmath] i duzi [inlmath]AB[/inlmath] i koje ja nisam obelezio ). Videces da su uglovi isti, te vazi:
[dispmath]\frac{c}{OA}=\frac{7}{12}=\frac{d}{OB}[/dispmath] Ovo ce nam trebati za kasnije. Sad ponovo koristimo pitagorinu teoremu na trouglovima [inlmath]ACO[/inlmath] i [inlmath]DBO[/inlmath] koji za hipotenuze imaju nase dve dijagonale [inlmath]d_1[/inlmath] i [inlmath]d_2[/inlmath] (pretpostavljam da vidis kuda ovo vodi ). Dakle, sad imamo [inlmath](d_1)^2=(OA)^2+(OB-d)^2[/inlmath] i [inlmath](d_2)^2=(OB)^2+(OA-c)^2[/inlmath].

Saberemo ova dva i imamo [inlmath](d_1)^2+(d_2)^2=(OA)^2 +(OB)^2-2\cdot d\cdot OB+d^2+(OB)^2+(OA)^2-2\cdot c\cdot OA+c^2[/inlmath]
Kada sparimo ovde poznate zbirove, koje smo malopre izracunali preko pitagorine teoreme dobicemo: [inlmath](d_1)^2+(d_2)^2=337-2(d\cdot OB+c\cdot OA)[/inlmath], ove proizvode naci cemo preko one slicnosti koju smo malocas nasli i sve lepo ispada [inlmath](d_1)^2+(d_2)^2=169[/inlmath]

Koristicemo diopo-vu sliku. Mislim da sam uradio maaalkice jednostavnije.

Kao prvo sam nazvao stranice [inlmath]AO=a\;[/inlmath] [inlmath]BO=b\;[/inlmath] [inlmath]DO=a_1\;[/inlmath] [inlmath]CO=b_1\;[/inlmath].
Sada kada bi primenili Pitagorinu teoremu na trouglove sa dijagonalama:
[inlmath]d_1^2=a^2+b_1^2\tag1[/inlmath]

[inlmath]d_2^2=a_1^2+b^2\tag2[/inlmath]

[inlmath](1)+(2)\quad\Longrightarrow\quad d_1^2+d_2^2=a^2+b_1^2+a_1^2+b^2[/inlmath]

Kada uocis da je [inlmath]a^2+b^2=12^2[/inlmath] i [inlmath]a_1^2+b_1^2=7^2[/inlmath] zadatak je gotov.

Ispada dosta prosto na kraju.

DzoniMaler je napisao:Kada uocis da je [inlmath]a^2+b^2=12^2[/inlmath] i [inlmath]a_1^2+b_1^2=7^2[/inlmath] zadatak je gotov.

Svaka cast Dzoni, samo mala ispravka [inlmath]a_1^2+b_1^2=5^2[/inlmath]

Da, to je puno prostije. Povukli su me ovi isti uglovi da radim slicnost i onda sam, zaslepljen time, izgubio puno laksu ideju iz vida.

zagormaster je napisao:

DzoniMaler je napisao:Kada uocis da je [inlmath]a^2+b^2=12^2[/inlmath] i [inlmath]a_1^2+b_1^2=7^2[/inlmath] zadatak je gotov.

Svaka cast Dzoni, samo mala ispravka [inlmath]a_1^2+b_1^2=5^2[/inlmath]

Eh eto sta bude kad ja kuckam po forumu u 1 ujutro...

Fenomenalni ste obojica, hvala!
Ali moram da priznam da me je više zaintrigirao ovaj diopov način, veoma zanimljivo i sa sigurnošću mogu da kažem da mi ovo ne bi palo na pamet nikad.