MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF - 16. jun 2018.
5. zadatak

Kružnica koja sadrži temena tupih uglova i jedno teme oštrog ugla romba deli dužu dijagonalu na delove čije su dužine [inlmath]25[/inlmath] i [inlmath]7[/inlmath]. Kolika je dužina stranice romba?

Tacan odgovor je: [inlmath]20[/inlmath].

Nemam nikakvu ideju kako da uradim ovaj zadatak.

Obelezi presek kruznice i dijagonale sa [inlmath]D[/inlmath]. Posmatraj cetvorougao [inlmath]ABCD[/inlmath]. Presek dve dijagonale obelezi sa [inlmath]E[/inlmath]. Uoci da je [inlmath]\triangle AEB\sim\triangle ADB[/inlmath] jer je ugao nad precnikom kruga odnosno [inlmath]\angle ABD=90^\circ[/inlmath]. Sada iz te slicnosti mozes dobiti [inlmath]a[/inlmath].

Ja sam bio na probnom i nisam ga uradio nazalost, bio je i meni tezak. Nisam se setio ovog ugla nad precnikom...

Visina tog pravouglog trougla deli hipotenuzu na odsečke dužina [inlmath]16[/inlmath] i [inlmath]9[/inlmath]. Dakle visina je [inlmath]12[/inlmath]. Dalje je mislim jasno.

Može pomoć oko ovog zadatka? Nije mi jasno kako znamo da je [inlmath]2R=25[/inlmath], tj. kako znamo da je ovaj odsečak prečnik ovog kruga?
Hvalaa.

Dakle na slici uocis [inlmath]\triangle{ABF}[/inlmath] i [inlmath]\triangle{ABE}[/inlmath]. Ti trouglovi su slicni jer je ugao [inlmath]\angle{AFB}=90^\circ[/inlmath] i [inlmath]\angle{ABE}=90^\circ[/inlmath], imaju jedan zajednicki ugao, [inlmath]\triangle{AEB}[/inlmath], te znamo da ova 2 trougla imaju iste uglove i da su samim tim slicni. [inlmath]\angle{AFB}=90^\circ[/inlmath] jer se dijagonale romba polove i seku pod pravim uglom, a [inlmath]\angle{ABE}=90^\circ[/inlmath] jer je to ugao naspram precnika kruga i taj ugao uvek iznosi [inlmath]90^\circ[/inlmath]. S obzirom da se dijagonale polove, sledi da je [inlmath]AF=16[/inlmath] (jer je cela dijagonala [inlmath]32[/inlmath]), a [inlmath]AE=25[/inlmath] (dato u zadatku). Na osnovu slicnosti trougla mozes da napises sledeci odnos, uporedjujuci stranice naspram istih uglova:
[dispmath]\frac{AB}{25}=\frac{16}{AB}\\
(AB)^2=16\cdot25\\
AB=20[/dispmath]

Hvala na objasnjenju!
Nisam bio siguran zašto ova duž pod pravim uglom iz tačke [inlmath]B[/inlmath] tačno pada na presek kruga i dijagonale, tj. na tačku [inlmath]E[/inlmath].

Koristiću oznake sa slike koju je postavio diopo.

Ja sam pitanje koje je 1 9 9 9 postavio razumeo drugačije. Mislim da je poenta pitanja u tome na osnovu čega znamo da je [inlmath]AE[/inlmath] baš prečnik kruga, a ne bilo koja njegova tetiva. Pošto su trouglovi [inlmath]\triangle ABE[/inlmath] i [inlmath]\triangle ADE[/inlmath] podudarni (što se sasvim lako dokazuje), sledi da su uglovi [inlmath]\angle ABE[/inlmath] i [inlmath]\angle ADE[/inlmath] jednaki. Pošto su to periferni uglovi s različitih strana tetive [inlmath]AE[/inlmath], sledi da je [inlmath]\angle ABE+\angle ADE=180^\circ[/inlmath]. Iz ovog sistema od dve jednačine sledi [inlmath]\triangle ABE=\triangle ADE=90^\circ[/inlmath], što nam i jeste bitno u ovom zadatku (a odatle sledi i da je tetiva [inlmath]AE[/inlmath] prečnik kruga).

(@1 9 9 9, bez namere da te požurujem, al' čisto da ne zaboraviš da ova tema čeka tvoj odgovor.)

Tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]E[/inlmath] se nalaze na kružnici. Centar kružnice se nalazi na toj istoj duži. Da li je to dovoljno da zaključimo da je [inlmath]AE[/inlmath] prečnik kružnice? Da li znamo zašto se centar kružnice mora naći na ovoj duži?

Dobar dan, gospodo!
Zanima me na osnovu cega zakljuciste da tacka [inlmath]E[/inlmath] sa tackom [inlmath]B[/inlmath] pravi prav ugao... Da bude konkretnije pitanje, znam za pravilo da je ugao naspram centra kruznice uvek prav... Ali otkud bas znamo da ce taj prav ugao graditi sa tackom [inlmath]E[/inlmath]... Ne znam da li razumete moje pitanje, nadam se da sam jasan.

Griezzmiha je napisao:Ne znam da li razumete moje pitanje

Nisam siguran.

Griezzmiha je napisao:Zanima me na osnovu cega zakljuciste da tacka [inlmath]E[/inlmath] sa tackom [inlmath]B[/inlmath] pravi prav ugao...

Prvo, ne može tačka s drugom tačkom praviti ugao. Tačka s drugom tačkom može praviti (tj. određivati) duž ili pravu.
A ugao mogu određivati tri tačke – tačka temena i tačke koje pripadaju različitim kracima.

A ako si hteo da pitaš na osnovu čega znamo da je ugao [inlmath]\angle ABE[/inlmath] prav, na to si pitanje sâm odgovorio:

Griezzmiha je napisao:znam za pravilo da je ugao naspram centra kruznice uvek prav...

U svakom slučaju, na šta god da se tvoje pitanje odnosi (a to mogu samo da nagađam, jer je vrlo konfuzno napisano), objašnjenja za sve prave uglove su navedena u prethodnim postovima ove teme.