MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF - 16. jun 2018.
5. zadatak

Kružnica koja sadrži temena tupih uglova i jedno teme oštrog ugla romba deli dužu dijagonalu na delove čije su dužine [inlmath]25[/inlmath] i [inlmath]7[/inlmath]. Kolika je dužina stranice romba?

Tacan odgovor je: [inlmath]20[/inlmath].

Nemam nikakvu ideju kako da uradim ovaj zadatak.

Obelezi presek kruznice i dijagonale sa [inlmath]D[/inlmath]. Posmatraj cetvorougao [inlmath]ABCD[/inlmath]. Presek dve dijagonale obelezi sa [inlmath]E[/inlmath]. Uoci da je [inlmath]\triangle AEB\sim\triangle ADB[/inlmath] jer je ugao nad precnikom kruga odnosno [inlmath]\angle ABD=90^\circ[/inlmath]. Sada iz te slicnosti mozes dobiti [inlmath]a[/inlmath].

Ja sam bio na probnom i nisam ga uradio nazalost, bio je i meni tezak. Nisam se setio ovog ugla nad precnikom...

Visina tog pravouglog trougla deli hipotenuzu na odsečke dužina [inlmath]16[/inlmath] i [inlmath]9[/inlmath]. Dakle visina je [inlmath]12[/inlmath]. Dalje je mislim jasno.

Može pomoć oko ovog zadatka? Nije mi jasno kako znamo da je [inlmath]2R=25[/inlmath], tj. kako znamo da je ovaj odsečak prečnik ovog kruga?
Hvalaa.

Dakle na slici uocis [inlmath]\triangle{ABF}[/inlmath] i [inlmath]\triangle{ABE}[/inlmath]. Ti trouglovi su slicni jer je ugao [inlmath]\angle{AFB}=90^\circ[/inlmath] i [inlmath]\angle{ABE}=90^\circ[/inlmath], imaju jedan zajednicki ugao, [inlmath]\triangle{AEB}[/inlmath], te znamo da ova 2 trougla imaju iste uglove i da su samim tim slicni. [inlmath]\angle{AFB}=90^\circ[/inlmath] jer se dijagonale romba polove i seku pod pravim uglom, a [inlmath]\angle{ABE}=90^\circ[/inlmath] jer je to ugao naspram precnika kruga i taj ugao uvek iznosi [inlmath]90^\circ[/inlmath]. S obzirom da se dijagonale polove, sledi da je [inlmath]AF=16[/inlmath] (jer je cela dijagonala [inlmath]32[/inlmath]), a [inlmath]AE=25[/inlmath] (dato u zadatku). Na osnovu slicnosti trougla mozes da napises sledeci odnos, uporedjujuci stranice naspram istih uglova:
[dispmath]\frac{AB}{25}=\frac{16}{AB}\\
(AB)^2=16\cdot25\\
AB=20[/dispmath]

Hvala na objasnjenju!
Nisam bio siguran zašto ova duž pod pravim uglom iz tačke [inlmath]B[/inlmath] tačno pada na presek kruga i dijagonale, tj. na tačku [inlmath]E[/inlmath].

Koristiću oznake sa slike koju je postavio diopo.

Ja sam pitanje koje je 1 9 9 9 postavio razumeo drugačije. Mislim da je poenta pitanja u tome na osnovu čega znamo da je [inlmath]AE[/inlmath] baš prečnik kruga, a ne bilo koja njegova tetiva. Pošto su trouglovi [inlmath]\triangle ABE[/inlmath] i [inlmath]\triangle ADE[/inlmath] podudarni (što se sasvim lako dokazuje), sledi da su uglovi [inlmath]\angle ABE[/inlmath] i [inlmath]\angle ADE[/inlmath] jednaki. Pošto su to periferni uglovi s različitih strana tetive [inlmath]AE[/inlmath], sledi da je [inlmath]\angle ABE+\angle ADE=180^\circ[/inlmath]. Iz ovog sistema od dve jednačine sledi [inlmath]\triangle ABE=\triangle ADE=90^\circ[/inlmath], što nam i jeste bitno u ovom zadatku (a odatle sledi i da je tetiva [inlmath]AE[/inlmath] prečnik kruga).

(@1 9 9 9, bez namere da te požurujem, al' čisto da ne zaboraviš da ova tema čeka tvoj odgovor.)

Tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]E[/inlmath] se nalaze na kružnici. Centar kružnice se nalazi na toj istoj duži. Da li je to dovoljno da zaključimo da je [inlmath]AE[/inlmath] prečnik kružnice? Da li znamo zašto se centar kružnice mora naći na ovoj duži?

Dobar dan, gospodo!
Zanima me na osnovu cega zakljuciste da tacka [inlmath]E[/inlmath] sa tackom [inlmath]B[/inlmath] pravi prav ugao... Da bude konkretnije pitanje, znam za pravilo da je ugao naspram centra kruznice uvek prav... Ali otkud bas znamo da ce taj prav ugao graditi sa tackom [inlmath]E[/inlmath]... Ne znam da li razumete moje pitanje, nadam se da sam jasan.

Griezzmiha je napisao:Ne znam da li razumete moje pitanje

Nisam siguran.

Griezzmiha je napisao:Zanima me na osnovu cega zakljuciste da tacka [inlmath]E[/inlmath] sa tackom [inlmath]B[/inlmath] pravi prav ugao...

Prvo, ne može tačka s drugom tačkom praviti ugao. Tačka s drugom tačkom može praviti (tj. određivati) duž ili pravu.
A ugao mogu određivati tri tačke – tačka temena i tačke koje pripadaju različitim kracima.

A ako si hteo da pitaš na osnovu čega znamo da je ugao [inlmath]\angle ABE[/inlmath] prav, na to si pitanje sâm odgovorio:

Griezzmiha je napisao:znam za pravilo da je ugao naspram centra kruznice uvek prav...

U svakom slučaju, na šta god da se tvoje pitanje odnosi (a to mogu samo da nagađam, jer je vrlo konfuzno napisano), objašnjenja za sve prave uglove su navedena u prethodnim postovima ove teme.

U pravu si Daniele, mogu postaviti pitanje malo bolje, nadam se.. Izvini na mojoj nesmotrenosti i lose srocenom pitanju. U sustini meni je evidentno ugao, koje prave tacke [inlmath]DBE[/inlmath] ocigledno ostar, odnosno nije prav... Pretpostavljam da postoje neke pojedinosti pravila koje se spominje duz ove teme, pa me zanima kako ste tvrdili za izvestan ugao koji nas zanima u zadatku, da je prav, kad primer koji napomenuh ocigledno nije... Nadam se da je sad malo jasnije objasnjeno ono sto me buni.

Ono sto mi mozda ima smisla je sledece.... Iz svega navedenog mozda ugao [inlmath]DBE[/inlmath] nije prav zato sto se jedna od tacaka nalazi na drugoj strani u odnosu na precnik (voleo bih da cujem da li je to zapravo ono na osnovu cega zakljucujete), ali kako cete znati da tacka [inlmath]A[/inlmath] zasigurno odgovara potrebnoj definiciji (nisam ni siguran sta je definicija zapravo, dosta nagadjam)... Ali ako idem u dobrom pravcu zakljucio bih da se tacka koja gradi ugao moze biti i na samom precniku (tj. na kruznoj liniji ali ni sa leve ni sa desne strane), svasta sam mozda sada i nalupao, ali nadam se da je mozda lakse sada uvideti gde gresim i sta me to buni.

Griezzmiha je napisao:Nadam se da je sad malo jasnije objasnjeno ono sto me buni.

Naprotiv, sad je još nejasnije.

Griezzmiha je napisao:pa me zanima kako ste tvrdili za izvestan ugao koji nas zanima u zadatku, da je prav

Možeš li umesto „izvestan ugao“ da navedeš koji je to konkretan prav ugao za koji te zanima dokaz da je prav?

Griezzmiha je napisao:Ono sto mi mozda ima smisla je sledece.... Iz svega navedenog mozda ugao [inlmath]DBE[/inlmath] nije prav zato sto se jedna od tacaka nalazi na drugoj strani u odnosu na precnik

Ovo donekle naslućujem šta si hteo da pitaš (ukoliko ne grešim). Periferijski ugao [inlmath]\angle DBE[/inlmath] je oštar zbog toga što je tačka [inlmath]E[/inlmath] krajnja tačka prečnika [inlmath]AE[/inlmath], dok se tačka [inlmath]D[/inlmath] kružnice i teme [inlmath]B[/inlmath] ugla [inlmath]\angle DBE[/inlmath] nalaze sa raznih strana prečnika [inlmath]AE[/inlmath].
Da su tačka [inlmath]D[/inlmath] i teme [inlmath]B[/inlmath] s iste strane prečnika [inlmath]AE[/inlmath], tada bi periferijski ugao [inlmath]\angle DBE[/inlmath] bio tup.
A da se tačka [inlmath]D[/inlmath] poklapa s tačkom [inlmath]A[/inlmath], tada bi periferijski ugao [inlmath]\angle DBE[/inlmath] bio prav (jer bi to tada bio periferijski ugao nad prečnikom).

Griezzmiha je napisao:ali kako cete znati da tacka [inlmath]A[/inlmath] zasigurno odgovara potrebnoj definiciji (nisam ni siguran sta je definicija zapravo, dosta nagadjam)...

Definiciji čega?

Griezzmiha je napisao:zakljucio bih da se tacka koja gradi ugao

Šta znači da tačka gradi ugao?

Griezzmiha je napisao:moze biti i na samom precniku (tj. na kruznoj liniji ali ni sa leve ni sa desne strane)

S leve/desne strane u odnosu na šta?

Ne, stvarno ne možemo ovako... Treba uvek pre slanja svog posta da pročitaš sve što si napisao – stavivši se u poziciju onog ko će to čitati i ko treba da razume to što je napisano – i da koriguješ sve što uočiš da može biti nejasno.
Ako želiš da ti se pomogne, onda moraš sve ovo prevesti na razumljiviji jezik... A ako ne, onda ništa...

Pokusao sam da slikom ukljucim sto vise uglova koji su sacinjeni krajnjim tackama precnika sa nekom tackom na desnoj/levoj strani odnosno periferiji... Mozda nije bas precnik, ali sam pokusao da ga skiciram sto je preciznije moguce... Ako uzmemo u obzir da je precnik, znacice da su svi ovi uglovi zaista pravi?

...Jos ovom slikom zelim da eventualno dopunim nesto nedoreceno... Periferijskim uglovima nazivamo, pretpostavljam, samo one uglove koji su sacinjeni od dve kranje tacke na precniku (sto bi u ovom slucaju bile [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]) sa nekom trecom tackom na periferiji... Mislim da sam shvatio konacno, skice su mi pomogle da i sam razumem.

Griezzmiha je napisao:Ako uzmemo u obzir da je precnik, znacice da su svi ovi uglovi zaista pravi?

Da, jer su to sve periferijski uglovi nad prečnikom.

Griezzmiha je napisao:Periferijskim uglovima nazivamo, pretpostavljam, samo one uglove koji su sacinjeni od dve kranje tacke na precniku

Ne mora na prečniku. Ako kraci periferijskog ugla sadrže dve krajnje tačke prečnika, onda je to periferijski ugao nad prečnikom. Ali, možemo imati periferijski ugao nad bilo kojom tetivom. A prečnik je samo jedna od tetiva kruga.

Griezzmiha je napisao:(sto bi u ovom slucaju bile [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]) sa nekom trecom tackom na periferiji...

To se kaže na kružnici, a ne na periferiji (mada je ovaj put (za divno čudo) jasno šta si hteo reći).

Znači, da rezimiramo:

• Centralni ugao nad tetivom [inlmath]AB[/inlmath] – to je ugao čije je teme u centru kruga, a čiji jedan krak sadrži tačku [inlmath]A[/inlmath] a drugi krak tačku [inlmath]B[/inlmath].
• Periferijski ugao nad tetivom [inlmath]AB[/inlmath] – to je ugao čije je teme na kružnici, a čiji jedan krak sadrži tačku [inlmath]A[/inlmath] a drugi krak tačku [inlmath]B[/inlmath].