MATEMANIJA

Dat je paralelogram [inlmath]ABCD[/inlmath] ([inlmath]AB\parallel CD[/inlmath]) sa uglom [inlmath]\angle BAD=60^\circ[/inlmath]. Odrediti odnos stranica [inlmath]\frac{AB}{AD}[/inlmath] ako je odnos dijagonala [inlmath]\frac{AC}{BD}=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{17}}[/inlmath].

Pokusala sam da zadatak resim koriscenjem kosinusne teoreme na trouglove [inlmath]ABC[/inlmath] i [inlmath]ABD[/inlmath], pa dobijam da je:
[dispmath]\frac{19}{17}=\frac{a^2+b^2+ab}{a^2+b^2-ab}[/dispmath] gde sam kao [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] oznacila redom, stranice [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AD[/inlmath]. Medjutim, ne umem da izrazim [inlmath]\frac{a}{b}[/inlmath] iz ovoga. Moze li pomoc? Hvala

Je l si pokusala da uradis unakrsno mnozenje, sredis izraz i onda uvedes smenu? Koje je konacno resenje?

Ja sam dobio da je [inlmath]\frac{a}{b}=9-4\sqrt5[/inlmath], a sada bi bilo lepo da nam daš rešenje pa da znam da li sam dobro rešio ovo ili ne.

Meni se sve čini da ćemo odgovor dobiti onda kada autoru ove teme bude zatrebala pomoć oko nekog narednog zadatka... a možda ni tad.
Odgovoriću ja – to što si dobio, @Tinker, jeste tačno, ali ne i jedino rešenje.

Da, i ja sam to pretpostavio @Daniel... I da, dobih i ja [inlmath]\frac{a}{b}=9\pm4\sqrt5[/inlmath] samo što rešenje sa [inlmath]+[/inlmath] ne možemo da prihvatimo zbog samog odnosa dijagonala.

Na sledećoj slici prikazana su oba rešenja (slika je u srazmeri, koja, priznajem, i nije baš najzgodnija):


U plavom paralelogramu je [inlmath]\frac{AB}{AD}=9-4\sqrt5[/inlmath], dok je u žutom paralelogramu [inlmath]\frac{AB}{AD}=9+4\sqrt5[/inlmath]. U oba paralelograma odnos dijagonala je jednak [inlmath]\frac{AC}{BD}=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{17}}[/inlmath].

Zašto onda [inlmath]9+4\sqrt5[/inlmath] ne prihvatamo kao rešenje? Imaš li neko objašnjenje?

A ko kaže da ga ne prihvatamo?

Da, u pravu si, @jojovanana nam nije dala tačno rešenje... znači rešenje glasi [inlmath]\frac{AB}{AD}=9\pm4\sqrt5[/inlmath]?

Tako je. Znači, zadatak ima dva rešenja.

Oglašava se i autor teme, sa maaalim zakašnjenjem.
I ja sam dobila taj odgovor, međutim, u zbirci je rešenje
[inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath].

Pa, jesi li pokušala da zadatak uradiš obrnutim redosledom – da odrediš odnos dijagonala ako je odnos stranica taj koji piše u rešenju, tj. [inlmath]3:2[/inlmath]?

Uvek kad imaš rezultat koji treba da se dobije, uz tekst zadatka obavezno napiši i njega – tačka 11. Pravilnika!

Nisam. Pokušaću, pa ću javiti kako sam prošla.

OK, da skratim priču, treba da se dobije [inlmath]\frac{AC}{BD}=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt7}[/inlmath].
Znači, zadati odnos dijagonala nije [inlmath]\frac{AC}{BD}=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{\color{red}17}}[/inlmath] već [inlmath]\frac{AC}{BD}=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{\color{red}7}}[/inlmath]. I sâm sam se čudio da se dobijaju onako nezgodni, „duguljasti“ paralelogrami (kakve sam nacrtao).
Ili je u tekstu zadatka u zbirci štamparska greška, ili si pogrešno prepisala tekst iz zbirke.
Ali, ni tada [inlmath]\frac{AB}{AD}=\frac{3}{2}[/inlmath] nije jedino rešenje, već postoji i rešenje [inlmath]\frac{AB}{AD}=\frac{2}{3}[/inlmath], budući da nije dat uslov da stranica [inlmath]AB[/inlmath] mora biti duža od stranice [inlmath]AD[/inlmath].
Da je zadatak umesto „odrediti odnos stranica [inlmath]\frac{AB}{AD}[/inlmath]“ glasio „odrediti odnos duže i kraće stranice paralelograma“, e tada bi [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] bilo jedino rešenje.