MATEMANIJA

Pozdrav. Tekst zadatka glasi: Osnovne ivice pravilne šestostrane zarubljene piramide su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]3a[/inlmath]. Ravan koja sadrži dvije paralelne osnovne ivice, koje ne pripadaju jednoj strani, siječe piramidu. Rastojanje izmedju ove dvije ivice je [inlmath]k[/inlmath]. Kolika je površina presjeka? Dakle, presjek ravni i piramide bi bio šestougao, [inlmath]ABPMNQ[/inlmath] i duž [inlmath]PQ[/inlmath] dijeli taj šestougao na dva trapeza ([inlmath]ABPQ[/inlmath] i [inlmath]PMNQ[/inlmath]), gdje su [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]MN[/inlmath] dvije osnovne ivice, prva veća od druge. Produžimo dvije ivice (ne ivice na osnovama) i dobijemo tačku [inlmath]S[/inlmath] ([inlmath]S[/inlmath] je vrh "dopunske" piramide). Sada su trouglovi [inlmath]\triangle SPQ[/inlmath] i [inlmath]\triangle SCF[/inlmath] slični (tačke [inlmath]S,Q,F[/inlmath] i [inlmath]S,P,C[/inlmath] su na istoj pravoj, [inlmath]F[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] su dijametralno suprotne). Zašto je [inlmath]SO:SR=\left(\frac{3}{2}\right)H:\left(\frac{3}{4}\right)H[/inlmath], gdje je [inlmath]R[/inlmath] presjek [inlmath]PQ[/inlmath] i [inlmath]SO[/inlmath], a [inlmath]O[/inlmath] tačka koju dobijemo kad povučemo dvije veće dijagonale veće osnove. Znam da bi bilo lakše nacrtati skicu ali mi ne radi kompjuter. Ako neko zna nekakvu dobru aplikaciju za crtanje (na telefonu) neka javi **Rjesenje zadatka je [inlmath]\frac{11}{4}ak[/inlmath]

Valjda sam jasno napisao, [inlmath]F[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] su tjemena pravilnog šestougla na osnovi.

Posmatraj presek po ravni koja sadrži [inlmath]S[/inlmath], [inlmath]O[/inlmath] i sredinu ivice [inlmath]AB[/inlmath]. Ta slika će ti, ja mislim, sve kas'ti:

Ali zašto si koristio [inlmath]h[/inlmath] i [inlmath]3h[/inlmath] kada kaže zadatak da su osnovne ivice [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]3a[/inlmath]. Šta predstavlja sada izraz sa strane, [inlmath]h=\frac{a\sqrt3}{2}[/inlmath]?

To je formula za visinu jednakostraničnog trougla čija je stranica [inlmath]a[/inlmath]. Evo još jedne slike, iz drugog ugla, mislim da će sad biti jasnije.

Hvala puno, jasno je sada šta je [inlmath]h[/inlmath]. Ako može samo još jedan hint, koje sličnosti trouglova vode odgovoru na moje osnovno pitanje (ako je u pitanju neka sličnost)?

Nema na gornjoj slici baš toliko mnogo trouglova pa da nisi to mogao i sam da uočiš. Ali, evo. Do [inlmath]SO=\frac{3}{2}H[/inlmath] dolaziš na osnovu sledeća dva trougla,


a za [inlmath]SR=\frac{3}{4}H[/inlmath] potrebna su ti još ova dva trougla:

Neka je [inlmath]O'[/inlmath] tačka u kojoj manja visina dodiruje duž [inlmath]SO[/inlmath]. Imamo da je
[dispmath]\frac{SO}{SO'}=\frac{3h}{h}[/dispmath] Dobije se
[dispmath]SO=3SO'[/dispmath][dispmath]SO'=\frac{SO}{3}[/dispmath] Onda imamo da je
[dispmath]3SO'-SO'=H[/dispmath][dispmath]2SO'= H[/dispmath][dispmath]2\cdot\frac{SO}{3}=H[/dispmath] Pa je
[dispmath]SO=\frac{3}{2}H[/dispmath] Slično za drugi:
[dispmath]\frac{RO}{O'R}=\frac{3h}{h}[/dispmath][dispmath]3O'R+O'R=H[/dispmath][dispmath]4\cdot\frac{RO}{3}=H[/dispmath][dispmath]RO=\frac{3}{4}H[/dispmath][dispmath]SR=SO-OR=\frac{3}{2}H-\frac{3}{4}H[/dispmath][dispmath]SR=\frac{3}{4}H[/dispmath] Trebalo bi da je ok.