Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Oko prave prizme opisan je valjak – prijemni FON 2018.

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]
  • +2

Oko prave prizme opisan je valjak – prijemni FON 2018.

Postod Jovan111 » Četvrtak, 14. Februar 2019, 23:01

Prijemni ispit FON - 26. jun 2018.
18. zadatak


Oko prave pravilne trostrane prizme zapremine [inlmath]4\text{ cm}^3[/inlmath] opisan je valjak tako da su im osnove u istoj ravni. Najmanja površina tako opisanog valjka iznosi:

Rešenje: [inlmath]\enclose{box}{8\pi}[/inlmath]

Primetimo da su visine upisane prizme i valjka iste i jednake [inlmath]H[/inlmath]. Neka je poluprečnik osnove valjka označen sa [inlmath]r_o[/inlmath]. Poluprečnik [inlmath]r_o[/inlmath] je ujedno i poluprečnik kružnice opisane oko osnove prizme (u pitanju je prava pravilna prizma, te je njena osnova jednakostranični trougao stranice [inlmath]a[/inlmath]). Tada možemo izraziti poluprečnik osnove [inlmath]r_o[/inlmath] preko stranice [inlmath]a[/inlmath] (formula za poluprečnik kružnice opisane oko jednakostraničnog trougla je poznata, a može se i lako izvesti iz činjenice da [inlmath]r_o[/inlmath] predstavlja dve trećine visine jednakostraničnog trougla):
[inlmath]r_o=\frac{a\sqrt3}{3}[/inlmath]

[dispmath]a=\frac{3r_o}{\sqrt3}\tag1[/dispmath]
valjak opisan oko prizme.png
valjak opisan oko prizme.png (10.01 KiB) Pogledano 2603 puta

Neka je zapremina upisane prizme [inlmath]V[/inlmath]. Ona je jednaka
[dispmath]V=B\cdot H=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot H[/dispmath] Pošto nam je jedino poznata zapremina [inlmath]V[/inlmath], nju ćemo smatrati poznatom. U formuli ćemo uvrstiti [inlmath]a[/inlmath] izraženo preko [inlmath](1)[/inlmath].
[dispmath]V=\frac{3\sqrt3r_o^2H}{4}[/dispmath][dispmath]H=\frac{4V}{3\sqrt3r_o^2}[/dispmath] Poslednji izraz ćemo još malo srediti uvrštavanjem poznate vrednosti za zapreminu [inlmath]V=4\text{ cm}^3[/inlmath].
[dispmath]H=\frac{16}{3\sqrt3r_o^2}\tag2[/dispmath] Konačno, pišemo formulu za površinu valjka [inlmath]P[/inlmath] koja se traži i uvrštavamo izraz [inlmath](2)[/inlmath] umesto [inlmath]H[/inlmath].
[dispmath]P=2\pi r_o^2+2\pi r_oH\tag3[/dispmath][dispmath]P=2\pi r_o^2+2\pi r_o\cdot\frac{16}{3\sqrt3r_o^2}[/dispmath][dispmath]P=2\pi r_o^2+\frac{32\pi}{3\sqrt3\cdot r_o}[/dispmath] Očigledno ne znamo koliko iznosi [inlmath]r_o[/inlmath], ali pošto se u zadatku traži najmanja površina opisanog valjka, onda možemo površinu [inlmath]P[/inlmath] posmatrati kao izraženu u funkciji od [inlmath]r_o[/inlmath], te treba da nađemo [inlmath]r_o[/inlmath] valjka za koji će površina biti minimalna, tj. treba da nađemo prvi izvod površine valjka [inlmath]P[/inlmath] po [inlmath]r_o[/inlmath] i izjednačimo ga sa nulom.
[dispmath]P'=2\pi\cdot\left(r_o^2\right)'+\frac{32\pi}{3\sqrt3}\cdot\left(\frac{1}{r_o}\right)'=4\pi r_o-\frac{32\pi}{3\sqrt3}\cdot\frac{1}{r_o^2}[/dispmath][dispmath]P'=0[/dispmath][dispmath]4\pi r_o=\frac{32\pi}{3\sqrt3r_o^2}[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath][dispmath]r_o=\frac{2\sqrt3}{3}[/dispmath] Na ovaj način dobili smo vrednost [inlmath]r_o[/inlmath] koja odgovara najmanjoj površini na ovaj način opisanog valjka. Ostaje odrediti jedinu nepoznatu koja nam je ostala ne bismo li izračunali površinu [inlmath]P[/inlmath], a to je visina (preko izraza [inlmath](2)[/inlmath]).
[dispmath]H=\frac{16}{3\sqrt3r_o^2}=\frac{4\sqrt3}{3}[/dispmath] Površinu ćemo i konačno izračunati kada nam je sve poznato, preko [inlmath](3)[/inlmath].
[dispmath]P=2\pi r_o^2+2\pi r_oH=8\pi[/dispmath]
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 161 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Oko prave prizme opisan je valjak – prijemni FON 2018.

Postod Daniel » Subota, 16. Februar 2019, 16:51

Jovan111 je napisao:Na ovaj način dobili smo vrednost [inlmath]r_o[/inlmath] koja odgovara najmanjoj površini na ovaj način opisanog valjka. Ostaje odrediti jedinu nepoznatu koja nam je ostala ne bismo li izračunali površinu [inlmath]P[/inlmath], a to je visina (preko izraza [inlmath](2)[/inlmath]).

Čak i ne moramo određivati visinu. Već imamo izraz za površinu valjka [inlmath]P=2\pi r_o^2+\frac{32\pi}{3\sqrt3\cdot r_o}[/inlmath] (drugi korak nakon [inlmath](3)[/inlmath]), u kojem figuriše samo [inlmath]r_0[/inlmath], bez visine. Dovoljno je samo uvrstiti dobijeno [inlmath]r_0[/inlmath] u taj izraz.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5015 puta
Pohvaljen: 4854 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 16 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 28. Jun 2022, 21:07 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs