MATEMANIJA

još ovo

9. U kuglu je upisan valjak kojemu je visina jednaka dvostrukom promjeru osnovice. Omjer obujmova (volumena) valjka i kugle je:
[inlmath]A.\;3:5;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{B.\;3:5\sqrt 5;}\quad[/inlmath] [inlmath]C.\;3:4\sqrt 5;\quad[/inlmath] [inlmath]D.\;13:15;\quad[/inlmath] [inlmath]E.\;\frac{4}{5\sqrt 5}.[/inlmath]

Obeležimo radijus lopte sa [inlmath]r[/inlmath], visinu valjka sa [inlmath]h[/inlmath], radijus osnovice valjka sa [inlmath]d[/inlmath], zapreminu sfere sa [inlmath]V_s[/inlmath] i zapreminu valjka sa [inlmath]V_v[/inlmath].

Ako pogledamo ovu sferu "sa strane" priećujemo da radijus lopte zajedno sa radijusom valjka i polovinom visine valjka čini pravougli trougao.
Primenom pitagorine teoreme:
[dispmath]\left(\frac{h}{2}\right)^2+(d)^2=r^2[/dispmath]
Kako znamo da je [inlmath]h=4d[/inlmath], zamenjujemo :
[dispmath]\left(\frac{h}{2}\right)^2+\left(\frac{h}{4}\right)^2=r^2[/dispmath]
[dispmath]\frac{5}{16}h^2=r^2[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sqrt{5}}{4}h=r[/dispmath]
Sada izracunamo zapreminu sfere izrazenu preko [inlmath]d[/inlmath]:
[dispmath]V_s=\frac{4}{3}\pi r^3[/dispmath]
[dispmath]=\frac{4}{3}\pi\frac{5\sqrt{5}}{64}h^3[/dispmath]
[dispmath]=\frac{5\sqrt{5}}{48}\pi h^3[/dispmath]
Zapremina valjka:
[dispmath]V_v=\pi d^2 h[/dispmath]
[dispmath]=\pi\left(\frac{h}{4}\right)^2 h[/dispmath]
[dispmath]=\pi\frac{h^3}{16}[/dispmath]

Odnos zapremina :
[dispmath]\frac{V_v}{V_k}=\frac{\pi \frac{h^3}{16}}{\frac{5\sqrt{5}}{48}\pi h^3}[/dispmath]
[dispmath]=\frac{3}{5\sqrt{5}}[/dispmath]