MATEMANIJA

17. Maksimalni obim pravougaonika upisanog u krug datog poluprečnika [inlmath]r[/inlmath] iznosi:
[inlmath](A)\;5\sqrt2r\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(B)}\;4\sqrt2r\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;\sqrt2r\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;3\sqrt2r\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;\text{Nijedan od ponuđenih odgovora}\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]

Dobijem [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] preko kosinusne teoreme, ali ne znam dalje.


[dispmath]b^2=\left(\frac{d}{2}\right)^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2-2\cdot\frac{d}{2}\cdot\frac{d}{2}\cos\alpha\\
b^2=\frac{d^2}{2}-\frac{d^2}{2}\cos\alpha\\
b^2=\frac{d^2}{2}\left(1-\cos\alpha\right)\\
b=d\sin\frac{\alpha}{2}\\
\vdots[/dispmath]
[dispmath]a^2=\frac{d^2}{2}-\frac{d^2}{2}\cos\left(\pi-\alpha\right)\\
a^2=\frac{d^2}{2}\left(1+\cos\alpha\right)\\
a=d\cos\frac{\alpha}{2}[/dispmath]
[dispmath]O_{\text{max}}=2a+2b[/dispmath]

Zameni [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] u jednačini [inlmath]O=2a+2b[/inlmath]. Izvuci [inlmath]2d[/inlmath] ispred [inlmath]2d\cdot\sin\frac{\alpha}{2}+2d\cdot\cos\frac{\alpha}{2}[/inlmath] i potraži maksimum za vrednost u zagradi.

Hmm, to sam i krenuo bio da radim, medjutim iz nekog razloga sam odustao.
Ali sad sam opet pokusao , dobio [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{2}[/inlmath] i uspeo.
Hvala!

Evo i načina bez kosinusne teoreme. Ništa uglovi, samo stranice.[dispmath]a^2+b^2=\left(2r\right)^2[/dispmath][dispmath]b^2=4r^2-a^2[/dispmath][dispmath]b=\sqrt{4r^2-a^2}[/dispmath][dispmath]O=2a+2b[/dispmath][dispmath]O=2a+2\sqrt{4r^2-a^2}[/dispmath][dispmath]O'_a=2+\cancel 2\frac{1}{\cancel 2\sqrt{4r^2-a^2}}\cdot\left(-2a\right)=0[/dispmath][dispmath]2-\frac{2a}{\sqrt{4r^2-a^2}}=0[/dispmath][dispmath]\cancel 2\sqrt{4r^2-a^2}=\cancel 2a\quad /\;\left(\quad\right)^2[/dispmath][dispmath]4r^2-a^2=a^2[/dispmath][dispmath]4r^2=2a^2[/dispmath][dispmath]a=r\sqrt 2[/dispmath][dispmath]b=\sqrt{4r^2-a^2}=\sqrt{2a^2-a^2}=\sqrt{a^2}=a[/dispmath][inlmath]\Rightarrow[/inlmath] pravougaonik upisan u krug datog poluprečnika imaće maksimalan obim onda kada je – kvadrat.[dispmath]O=4a[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{O=4r\sqrt 2}[/dispmath]

Ahaha, pa ja sam u nekom od prethodnih pokusaja i dobio da mi je [inlmath]a=b[/inlmath], ali sam pomislio da je nemoguce jer je u zadatku receno da je pravougaonik upisan u krug i sve sam krenuo ispocetka.

Pa, kvadrat ti je poseban slučaj pravougaonika.
Kvadrat ti je, zapravo, poseban slučaj i pravougaonika, i romba, i romboida. Čudo jedno od geometrijskog lika.

Nego, kad si dobio da ti je [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{2}[/inlmath], to ti je valjda bio dovoljan pokazatelj da je taj pravougaonik, zapravo – kvadrat, zar ne?

He, pa da, iz tog razloga sto se jedino kod kvadrata i kod romba dijagonale polove pod uglom od [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], a u ovom slucaju znamo da je u pitanju kvadrat, jel?

Da, zato što znamo da je u pitanju pravougaonik, a pravougaonik ne može biti romb, ali može biti kvadrat...