MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 20. jun 2019.
18. zadatak

U pravu kupu čiji je poluprečnik osnove [inlmath]1\text{ cm}[/inlmath] i visina [inlmath]3\text{ cm}[/inlmath] je upisan valjak maksimalne površine. Zapremina tog valjka iznosi:

[inlmath]\displaystyle A)\;\frac{3\pi}{8}\text{ cm}^3;\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle B)\;\frac{45\pi}{64}\text{ cm}^3;\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle C)\;\frac{15\pi}{32}\text{ cm}^3;\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\enclose{circle}{D)}\;\frac{27\pi}{64}\text{ cm}^3;\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;\frac{25\pi}{32}\text{ cm}^3;\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]

Trebala bi mi ideja za ovaj zadatak. Prethodno sam gledala na forumu neke slične zadatke i postavila kupu kao da je trougao u kordinatnom sistemu, pa našla jednačinu prave kroz 2 tačke, pa bi na toj pravoj bilo i teme pravougaonika tj. [inlmath]r[/inlmath] od upisanog valjka, međutim kranji rezultat je bio [inlmath]\displaystyle\frac{3\pi}{8}\text{ cm}^3[/inlmath] što nije rešenje.

Pozdrav! Ako uočiš osni presek kupe, kao što i jesi i označiš trougao koji si pomenula sa [inlmath]ABC[/inlmath], onda će u njega biti upisan pravougaonik koji ima dva temena na osnovici [inlmath]AB[/inlmath] i na svakoj od druge dve stranice po još jedno teme i to, teme [inlmath]E[/inlmath] na stranici [inlmath]AC[/inlmath] i teme [inlmath]F[/inlmath] na stranici [inlmath]BC[/inlmath]. Tada spustiš visinu iz temena [inlmath]C[/inlmath] na stranicu [inlmath]AB[/inlmath]. Označi sa [inlmath]C_1[/inlmath] tačku preseka date visine sa stranicom [inlmath]EF[/inlmath], odnosno sa [inlmath]C_2[/inlmath] podnožje date visine na stranici [inlmath]AB[/inlmath].

---

Probaj sad da uočiš sličnost trouglova [inlmath]C_2BC[/inlmath] i [inlmath]C_1FC[/inlmath]

Postavila sam da je:
[dispmath]\frac{CC_1}{CC_2}=\frac{C_1F}{C_2B}\\
\frac{3-x}{3}=\frac{1-y}{1}[/dispmath][dispmath]3-x=3-3y\\
-x=-3y\\
y=\frac{1}{3}x[/dispmath][dispmath]P=xy=(3-x)\cdot\frac{2}{3}x=2x-\frac{2}{3}x^2\\
P'=2-\frac{4}{3}x\\
0=2-\frac{4}{3}x\\
x=\frac{3}{2}[/dispmath][dispmath]a=\frac{3}{2}\\
b=1[/dispmath] Kada to stavim u formulu za zapreminu ne dobijam tačno rešenje...

Uočio sam više grešaka.

kaca10 je napisao:[dispmath]\frac{CC_1}{CC_2}=\frac{C_1F}{C_2B}\\
\frac{3-x}{3}=\frac{1-y}{1}[/dispmath]

S ovim oznakama, ti si zapravo poluprečnik osnove upisanog valjka označila sa [inlmath]1-y[/inlmath], a ne sa [inlmath]y[/inlmath].
I, zar ti nije bilo logičnije da ono što je na horizontalnoj osi obeležiš sa [inlmath]x[/inlmath] a ono što je na vertikalnoj osi obeležiš sa [inlmath]y[/inlmath], umesto obrnuto? Ili, još bolje, da visinu valjka obeležiš sa [inlmath]H[/inlmath], a njegov poluprečnik osnove sa [inlmath]r[/inlmath]?

kaca10 je napisao:[dispmath]P=xy=\cdots[/dispmath]

Sve i da si sa [inlmath]y[/inlmath] obeležila poluprečnik osnove valjka (što pretpostavljam da ti je bila namera), [inlmath]P=xy[/inlmath] ne bi bila površina valjka, već bi to bila površina njegove polovine preseka (koja predstavlja pravouganonik sa stranicama [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]).
Površina valjka jednaka je zbiru površina njegove dve osnove i površine omotača.

kaca10 je napisao:[dispmath]\cdots\\
y=\frac{1}{3}x[/dispmath][dispmath]P={\color{red}xy=(3-x)\cdot\frac{2}{3}x}=\cdots[/dispmath]

Ovaj crveni deo ne razumem. Ako si prethodno napisala da je [inlmath]y=\frac{1}{3}x[/inlmath], uvrštavanjem u [inlmath]xy[/inlmath] bi se dobilo [inlmath]\frac{1}{3}x^2[/inlmath] (mada ni to ne bi bilo tačno zbog prethodnih grešaka).

---

Poželjno je za pisanje računa koristiti equation umesto inline Latex-tagova. Inline tagovi se koriste kad želiš neki izraz da napišeš u istom redu kao i tekst. Equation tagovi centriraju Latex po sredini i prikazuju ga krupnijim, što je lakše za čitanje. Korigovao sam.

Hvala za ispravke i uput, uspela sam da ga rešim!