MATEMANIJA

18. U pravu kupu upisan je valjak sa najvećim omotačem. Ako je zapremina kupe [inlmath]V[/inlmath], tada je zapremina tog valjka jednaka:
[inlmath](A)\;\frac{2}{3}V\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;\frac{1}{4}V\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;\frac{3}{8}V\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;\frac{3}{16}V\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;\frac{3}{4}V\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

Dobijem malo [inlmath]r[/inlmath] preko slicnosti trouglova, preko tangensa, ali ne znam kako onda, nisu mi bas najjasniji zadaci ovog tipa. Jel trebam da trazim odnos dve zapremine?

Znači, dobio si da je [inlmath]r=\frac{R}{H}\left(H-h\right)[/inlmath]? (Sa [inlmath]r[/inlmath] sam obeležio poluprečnik osnove valjka, sa [inlmath]h[/inlmath] visinu valjka, sa [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik osnove kupe i sa [inlmath]H[/inlmath] visinu kupe.)
Sada u formulu za površinu omotača valjka,
[dispmath]M=2\pi rh[/dispmath]
izrazimo [inlmath]r[/inlmath] u funkciji od [inlmath]h[/inlmath]:
[dispmath]M=2\pi\frac{R}{H}\left(H-h\right)h[/dispmath]
Nađemo izvod površine omotača po visini valjka [inlmath]h[/inlmath] i izjednačimo ga s nulom, kako bismo dobili [inlmath]h[/inlmath] za koje je površina omotača maksimalna:
[dispmath]M'_h=2\pi\frac{R}{H}\left[\left(H-h\right)h\right]'=0[/dispmath][dispmath]\left(H-h\right)'\cdot h+\left(H-h\right)\cdot h'=0[/dispmath][dispmath]-h+\left(H-h\right)=0[/dispmath][dispmath]\underline{h=\frac{H}{2}}[/dispmath][dispmath]r=\frac{R}{H}\left(H-h\right)=\frac{R}{H}\left(H-\frac{H}{2}\right)=\frac{R}{\cancel H}\cdot\frac{\cancel H}{2}[/dispmath][dispmath]\underline{r=\frac{R}{2}}[/dispmath]
I onda, naravno, nađemo odnos dve zapremine:
[dispmath]\frac{V_v}{V}=\frac{\cancel\pi r^2h}{\frac{1}{3}\cancel\pi R^2H}[/dispmath][dispmath]\frac{V_v}{V}=\frac{3r^2h}{R^2H}[/dispmath][dispmath]\frac{V_v}{V}=\frac{3\left(\frac{\cancel R}{2}\right)^2\cdot\frac{\cancel H}{2}}{\cancel{R^2}\cancel H}[/dispmath][dispmath]\frac{V_v}{V}=\frac{3}{8}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{V_v=\frac{3}{8}V}[/dispmath]

Zanimljiv zadatak, nosi dosta bodova, a sad kad bolje pogledam i nije toliko tezak.

Jasna mi je vecina ali ovaj deo ne razumem najbolje...
Na osnovu cega se dobija [dispmath]\left(H-h\right)'=-1[/dispmath]
Pretpostavljam da je to zato sto je [inlmath]H[/inlmath] konstanta

Difereniciramo po [inlmath]h[/inlmath], [inlmath]H[/inlmath] tretiramo kao konstantu, a [inlmath]h[/inlmath] kao promenljivu. Otuda je [inlmath](H-h)'=H'-h'=0-1=-1[/inlmath]. Mogao si da diferenciraš i po [inlmath]H[/inlmath] i dobio bi isti odnos [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]h[/inlmath].

Ukoliko ne znamo izvode, kako bismo pronašli maksimalnu površinu omotača?

Dobije se da je [inlmath]M=2\pi\frac{R}{H}(H-h)h[/inlmath]. Ovo je funkcija po [inlmath]h[/inlmath] i znamo kako ona izgleda. Njene nule su u [inlmath]h=0[/inlmath] i [inlmath]h=H[/inlmath], a maksimum joj je tačno na sredini između ove dve nule tj. u [inlmath]h=\frac{H}{2}[/inlmath].

Pozdrav, nije mi jasna jedna stvar u vezi ovog zadatka. U zadatku je dato da je [inlmath]V[/inlmath] kupe konstantna, međutim kako nam to dozvoljava da posmatramo [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath] kupe kao konstante kada za različite vrednosti [inlmath]R[/inlmath] i [inlmath]H[/inlmath] možemo da dobijemo istu vrednost zapremine (npr. [inlmath]R^2=4[/inlmath], [inlmath]H=3[/inlmath] i [inlmath]R^2=3[/inlmath], [inlmath]H=4[/inlmath] - različite su vrednosti [inlmath]R[/inlmath] i [inlmath]H[/inlmath] kao što vidimo, a dobiće se ista vrednost zapremine)? Hvala unapred

Pozdrav, dobro nam došao. Dodao sam LaTex u tvoj post, molim te da ga koristiš, kao što je i predviđeno Pravilnikom.

U zadatku se ne traži zapremina valjka, nego odnos zapremina valjka i kupe. Kao što je u prethodnim komentarima i pokazano, potrebno je odrediti parametre valjka u funkciji parametara kupe. I onda se sve što nam "smeta" lepo pokrati, i vidi se koliki je odnos ove dve zapremine. Čak i da znaš konkretne vrednosti za visinu i poluprečnik, opet bi se te vrednosti skratile i dobio bi odnos dve zapremine.

Hvala puno na dobrodošlici i brzom odgovoru, jasno mi je sad. Izvinjavam se na nekorišćenju LaTexa, prvi put sam komentarisao na forumu, ubuduće ću ga koristiti.