MATEMANIJA

Prvi probni prijemni ispit FON – 9. jun 2019.
15. zadatak

Dužina visine pravilne četvorostrane piramide je [inlmath]4\text{ cm}[/inlmath], a rastojanje podnožja visine piramide od središta bočne visine iznosi [inlmath]2.5\text{ cm}[/inlmath]. Dužina poluprečnika sfere upisane u ovu piramidu je:
[inlmath]\displaystyle\enclose{circle}{A)}\;\frac{3}{2}\text{ cm}\,;\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle B)\;\frac{4}{3}\text{ cm}\,;\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle C)\;\frac{3}{4}\text{ cm}\,;\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle D)\;1\text{ cm}\,;\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;2\text{ cm}\,;\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]

Može li neka početna ideja za rešavanje ovog zadatka? Prvo sam rešavao kao da je duž koja spaja podnožje visine i sredinu bočne visine normalna, ali to nije tako.
Ne mogu da se setim nekog načina za rešavanje ovog zadatka.(Jednostavno mi je stao mozak )

Pozdrav! Ako pretpostavimo da si uspeo da nacrtaš skicu, onda bi mogao da uočiš trougao [inlmath]ABC[/inlmath] sa slike ispod u kom dužine kateta [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath] odgovaraju, tim redom, polovini dužine osnovne ivice, to jest [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath] (što je ujedno dužina poluprečnika upisanog u osnovu) i dužini visine piramide [inlmath]H[/inlmath]. Stranica [inlmath]BC[/inlmath] je hipotenuza prikazanog trougla i ujedno visina [inlmath]h[/inlmath] jedne od bočnih strana piramide koja je data. Prema tekstu zadatka, treba uočiti tačku [inlmath]A'[/inlmath] na stranici [inlmath]h[/inlmath], koja je ujedno i njeno središte. Tada je [inlmath]AA'[/inlmath] težišna duž trougla [inlmath]ABC[/inlmath] na hipotenuzu [inlmath]h[/inlmath].


Pošto je centar kružnice opisane oko pravouglog trougla na središtu hipotenuze, onda su [inlmath]AA'[/inlmath], [inlmath]A'C[/inlmath] i [inlmath]A'B[/inlmath] poluprečnici te kružnice. Prema tome, zaključujemo:
[dispmath]|AA'|=|A'C|=|A'B|=2,5\text{ cm}[/dispmath] pa je visina bočne strane [inlmath]h=5\text{ cm}[/inlmath]. Nakon ovoga bi trebalo sa svoje skice da primetiš tačku koja je centar sfere upisane u piramidu, a koja se nalazi na kateti [inlmath]AC[/inlmath], a potom iz sličnosti trouglova ili nekom drugom metodom da rešiš zadatak. Ako negde zapne, javi

Rešio sam zadatak. To sam uočio nakon nekoliko minuta posle postavljanja posta, pa sam odmah rešio zadatak. Hvala ti u svakom slučaju!