MATEMANIJA

Pozdrav, spremam prijemni za fakultet ove godine i naisao sam na zadatak koji ne mogu da resim.

Probni prijemni ispit ETF - 16. jun 2018.
9. zadatak

9. U paralelogramu [inlmath]ABCD[/inlmath] dijagonale [inlmath]BD[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath] seku se u tacki [inlmath]O[/inlmath]. Ako je dijagonala [inlmath]BD[/inlmath] duzine [inlmath]5\text{ cm}[/inlmath], [inlmath]\angle DBA=45^\circ[/inlmath] i [inlmath]\angle DOC=105^\circ[/inlmath], kolika je povrsina datog paralelograma?

Pokusao sam da primenim kosinusnu teoremu, izrazio stranicu [inlmath]b[/inlmath] preko visine, ali nisam dosao do konacnog resenja.

Nadam se da cete mi pomoci.

Pozdrav, uneo sam ti neke korekcije u post kako bi bio u skladu s Pravilnikom (konkretno, tačka 9. i tačka 13).

Ne treba ti ovde kosinusna teorema. Dovoljno je da nađeš površinu jednog od trouglova [inlmath]\triangle ABO[/inlmath], [inlmath]\triangle BCO[/inlmath], [inlmath]\triangle CDO[/inlmath] ili [inlmath]\triangle DAO[/inlmath], budući da ta četiri trougla imaju jednake površine (a površina svakog je četvrtina tražene površine paralelograma [inlmath]ABCD[/inlmath]). Neka to bude površina trougla [inlmath]\triangle ABO[/inlmath]. Izrazi dužinu stranice [inlmath]AB[/inlmath] preko dužine [inlmath]BO[/inlmath] (koja ti je poznata, to je polovina dužine [inlmath]BD[/inlmath]). Pri tome, iskoristi poznat ugao [inlmath]\angle ABO[/inlmath], kao i ugao [inlmath]\angle BAO[/inlmath] čiju vrednost lako odrediš. Zatim i visinu iz temena [inlmath]O[/inlmath] na stranicu [inlmath]AB[/inlmath] izraziš preko [inlmath]BO[/inlmath] i imaćeš sve elemente trougla [inlmath]\triangle ABO[/inlmath] potrebne da bi mogao naći njegovu površinu.

Hvala na brzom odgovoru. Ja sam potpuno drugi ugao koristio. Zanima me samo da li uvek kod paralelograma trouglovi koji se dobiju kada se povuku dijagonale imaju istu povrsinu, posto mi je to do sada bilo nepoznato?
Sada kada sam pokusao da uradim i uvideo sam da to nema smisla, vec da mozemo da izrazimo visinu trougla [inlmath]ABO[/inlmath] i onda mozemo pronaci visinu paralelograma koja odgovara stranici [inlmath]a[/inlmath]: [inlmath]h_a=2h[/inlmath], nakon cega se povrsina lako pronalazi.

Hajde da vidimo u kakvom su odnosu dva trougla koja dobijemo kada povučemo dijagonalu paralelograma:

Naspramne stranice paralelograma su jednake, pa će ta dva trougla imati dva para jednakih stranica.

Dijagonala paralelograma je zajednička stranica za oba dobijena trougla, pa je samim tim i treći par stranica ova dva trougla jednak.

A znamo dobro u kakvom su odnosu dva trougla kod kojih su sve tri stranice jednake.

Ali treća stranica nije jednaka, u pitanju je paralelogram koji imaju po dva para jednakih stranica [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Ako su dve stranice jednake, treća ne mora biti?

Mislim da se niste razumeli. Miletransov post se odnosio na dva podudarna trougla koja se dobijaju povlačenjem jedne dijagonale paralelograma. Ono što si ti, @djordje.golubovic pitao, bilo je zbog čega četiri trougla koja se dobijaju povlačenjem obe dijagonale paralelograma – imaju istu površinu. Pre svega, jasno je da su trouglovi [inlmath]\triangle ABO[/inlmath] i [inlmath]\triangle CDO[/inlmath] podudarni (stav SSS), i da su trouglovi [inlmath]\triangle BCO[/inlmath] i [inlmath]\triangle DAO[/inlmath] takođe podudarni, pa samim tim moraju imati i istu površinu. Trouglovi [inlmath]\triangle ABO[/inlmath] i [inlmath]\triangle BCO[/inlmath] nisu podudarni, ali imaju istu površinu. Ovo se lako dokazuje ako za osnovicu prvog trougla posmatramo [inlmath]AO[/inlmath], a za osnovicu drugog [inlmath]CO[/inlmath] (ove dužine su jednake). Visina iz temena [inlmath]B[/inlmath] na osnovicu jednaka je kod jednog i drugog trougla. Prema tome, površina (koja je jednaka polovini proizvoda osnovice i visine na nju) mora biti jednaka za oba trougla.
Slično se dokazuje za bilo koji par od ova četiri trougla.

Može se dokazati i na drugi način, preko površina, tako što se uporedi površina trougla [inlmath]\triangle ABO[/inlmath], koja iznosi [inlmath]\frac{1}{2}AB\cdot\frac{h}{2}[/inlmath], gde je [inlmath]h[/inlmath] visina paralelograma, s površinom celog paralelograma [inlmath]ABCD[/inlmath], koja iznosi [inlmath]AB\cdot h[/inlmath]. Na ovaj način se za svaki od ova četiri trougla dobije da ima površinu četiri puta manju od površine paralelograma, tj. da su im površine jednake.

djordje.golubovic je napisao:Sada kada sam pokusao da uradim i uvideo sam da to nema smisla,

Šta nema smisla? Hajde ako hoćeš da razjasnimo.

djordje.golubovic je napisao:vec da mozemo da izrazimo visinu trougla [inlmath]ABO[/inlmath] i onda mozemo pronaci visinu paralelograma koja odgovara stranici [inlmath]a[/inlmath]: [inlmath]h_a=2h[/inlmath], nakon cega se povrsina lako pronalazi.

To je u principu ovo što sam ti ja napisao. Glavno je naći dužinu [inlmath]AB[/inlmath], a kad smo nju našli, svejedno je hoćemo li koristeći visinu trougla [inlmath]\triangle ABO[/inlmath] naći površinu tog trougla pa je množiti sa [inlmath]4[/inlmath], ili ćemo koristeći visinu celog paralelograma (čija je visina dvaput veća od visine trougla) naći površinu paralelograma. Dođe na isto.